А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Ответ: 1/2.
Иногда парадокс с попугаями излагают в форме, не позволяющей решить его однозначно. Представьте себе, вы встретили незнакомца, заявившего: «У меня двое детей. По крайней мере один мальчик», Какова вероятность, что у незнакомца два сына?
Эта задача поставлена неточно: вы остаетесь в неведении относительно обстоятельств, побудивших незнакомца сделать заявление. С такой же вероятностью он мог бы, например, сообщить вам: «По крайней мере одна девочка», выбрав наугад девочку или мальчика, если у него сын и дочь, или назвав пол одного из детей, если у него два сына или две дочери. При этих условиях вероятность того, что у незнакомца два сына, равна 1/2. Подобная ситуация соответствует первой из четырех перечисленных нами процедур.
В
С парадоксом о двух попугаях тесно связан еще более удивительный парадокс, известный под названием «парадокс второго туза». Предположим, что вы играете в бридж. Взглянув после раздачи в свои карты, вы заявляете: «У меня туз». Какова вероятность, что у вас есть второй туз?
Ответ: 5359/14498, что меньше 1/2.
Предположим теперь, что всех партнеров интересует какой-то определенный туз, например, туз пик. Игра продолжается до тех пор, пока после очередной раздачи карт вы не заявите: «Туз пик у меня». Какова вероятность того, что у вас есть второй туз?
Ответ: 11636/20825, что чуть больше 1/2! Почему выбор определенного туза так изменяет шансы?
Вычисление вероятностей для всей колоды громоздко и утомительно, но суть парадокса легко понять, если воспользоваться «мини-колодой» из четырех карт, например из туза пик, туза червей, двойки треф и валета бубен. (Упрощение задачи за счет уменьшения числа элементов рассматриваемого множества нередко позволяет легко разобраться в структуре проблемы.) Колоду из четырех карт перетасуем и раздадим двум игрокам.
Существует всего 6 равновероятных вариантов взяток (по 2 карты в каждой) — см. рисунок на стр. 139.
В 5 из 6 случаев игрок может заявить: «У меня туз», но второй туз у него будет лишь в одном случае из 5. Следовательно, вероятность того, что у игрока имеется второй туз, равна 1/5.
В трех случаях игрок может заявить: «У меня туз пик». Лишь в одном из этих трех случаев у него имеется второй туз. Следовательно, вероятность того, что у игрока есть второй туз, равна 1/3. Заметим, что партнеры должны заранее условиться, какой масти туз их интересует, а также о том, кто будет объявлять, если ему попадется избранный туз. Без этих оговорок задача может стать неопределенной.
Профессор Смит однажды обедал вместе с двумя студентами-математиками.
Профессор Смит. Хотите сыграть в новую игру? Каждый из вас выкладывает кошелек на стол.
Выигрывает тот, в чьем кошельке денег окажется меньше, и получает все деньги из другого кошелька.
Джо. Если у меня денег больше, чем у Джилл, то она выиграет и мои деньги достанутся ей. Если же у нее денег больше, чем у меня, то выиграю я. Следовательно, я выиграю больше, чем могу потерять. Эта игра для меня выгоднее, чем для Джилл.
Джилл.
Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнеров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны?
Этот забавный парадокс заимствован из книги французского математика Мориса Крайчика «Математические развлечения». У Крайчика речь идет не о кошельках, а о галстуках:
Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному сбой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них?
Игра, о которой поведал читателям Крайчик, честная, если мы с помощью некоторых дополнительных предположений четко и однозначно сформулируем правила игры. Так, если мы располагаем сведениями о том, что один из игроков имеет при себе меньшую сумму денег, чем другой, или имеет обыкновение носить дрянные галстуки, то игру нельзя будет считать честной. Но если мы не располагаем подобной информацией, то вполне допустимо предположить, что каждый из игроков имеет при себе некую случайную сумму денег — от нуля до некоторого максимального предела, например до 100 долларов Если, исходя из этого предположения, мы построим, как это сделано в книге Крайчика, матрицу платежей, то увидим, что игра «симметрична» и ни один из игроков не имеет преимущества.
К сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика. Книга Крайчика ничем не может нам помочь, а других работ, посвященных этой игре, насколько известно, не существует.
Есть ля жизнь на Титане, самом крупном из спутников Сатурна?
Если на подобные вопросы вы с равной вероятностью отвечаете как утвердительно, так и отрицательно, то это означает, что вы слепо следуете «принципу безразличия». Необдуманное применение этого принципа не раз заводило многих математиков, физиков и даже великих философов в тенета абсурда.
«Принцип недостаточного основания», который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем «Трактате по теории вероятностей» переименовал в «принцип безразличия», можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это «нечто» мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так и ложным.