Большая Советская Энциклопедия (ОР)

Большая Советская Энциклопедия

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида

. Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя

Ряд

 с коэффициентами С_п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {j_n (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет

место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций j_k (x), то есть

 в этом случае говорят, что ряд

 сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса r(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям j_n (x), n = 1, 2,....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова — Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

Ортогональное преобразование

Ортогона'льное преобразова'ние,линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует ортогональная матрица. О. п. образуют группу — т.н. группу вращений данного евклидова пространства вокруг начала координат. В трёхмерном пространстве О. п. сводится к повороту на некоторый угол вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О, если определитель соответствующей ортогональной матрицы равен +1. Если же этот определитель равен —1, то поворот дополняется зеркальным отражением относительно плоскости, проходящей через О и перпендикулярной оси поворота. В двумерном пространстве, т. е. в плоскости, О. п. определяет поворот на некоторый угол вокруг начала координат О или зеркальное отражение относительно некоторой прямой, проходящей через О. Используется О. п. при приведении к главным осям квадратичной формы. См. также Матрица, Векторное пространство.

Ортогональность

Ортогона'льность (греч. orthogonios — прямоугольный, от orth'os — прямой и gon'ia — угол), обобщение (часто синоним) понятия перпендикулярности. Если два вектора в трёхмерном пространстве перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Это позволяет обобщить понятие перпендикулярности, распространив его на векторы в любом линейном пространстве, в котором определено скалярное произведение, обладающее обычными свойствами (см. Гильбертово пространство), назвав два вектора ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. В частности, вводя скалярное произведение в пространстве комплекснозначных функций, заданных на отрезке [а, b ] формулой

,

где r(х) ³ 0, называют две функции f (x) и j(x), для которых (f, j)_r = 0, то есть

,

ортогональными с весом r(х). Два линейных подпространства называется ортогональными, если каждый

вектор одного из них ортогонален каждому вектору другого. Это понятие обобщает понятие перпендикулярности двух прямых или прямой и плоскости в трёхмерном пространстве (но не понятие перпендикулярности двух плоскостей). Термином ортогональные кривые обозначают кривые линии, пересекающиеся под прямым углом (измеряется угол между касательными в точке пересечения). См., например, ортогональные траектории в ст. Изогональные траектории.

Ортогональные многочлены

Ортогона'льные многочле'ны, специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через

, а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через

. В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где g_n=n [(a₁ + (n + 1)b₂].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

1) Якоби многочлены {Р_п ^(l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)^l (1 + x)^m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены

 (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —¹/₂, т. е.

 — Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); l = m = ¹/₂, т. е.

 — Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); l = m = 0, т. е. r(х) o 1 — Лежандра многочленыР_п (х).

2) Лагерра многочленыL_n (x) — при а = 0, b = + yen и r(х) = е^—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра

 — при

.

3) Эрмита многочленыН_n (х) — при а = —yen, b = + yen и

 (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1(х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига