Большая Советская Энциклопедия (СФ)

Большая Советская Энциклопедия

,

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:

,

где a_m — постоянные,

 — присоединённые функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством:

,

где Р_п —

Лежандра многочлены.

С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e ^imj} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С. ф.:

С. ф. степени l

при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

(1)

(q^–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q^–1). Коэффициенты

 являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

,

где cos g = cos q cos q‘ + sinq sinq' cos (j —j’), g — сферическое расстояние точки (q, j) от точки (q', j’).

Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть

 — поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф.

, сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, q, j), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функциюсоответственно степени n - 1 и n.

С. ф. были введены А. Лежандроми П. Лапласом в конце 18 в.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.

Сферический избыток

Сфери'ческий избы'ток, превышение суммы углов сферического треугольника сверх 180°, то есть сверх суммы углов прямолинейного треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника, образованного тремя геодезическими линиями на поверхности с положительной кривизной, т. е. на выпуклой поверхности, всегда больше двух прямых и равна

где К —

полная кривизна поверхности, а dS — элемент её площади. С. и. треугольника, образованного большими кругами на сфере (шаре) с радиусом R, равен

где S — площадь треугольника. Для небольших треугольников на поверхности земного шара с двумя сторонами a, b и углом С между ними величина e, выраженная в секундах дуги, равна

.

Сферический маятник

Сфери'ческий ма'ятник,материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой сферической поверхности, в частности по полусфере, обращенной выпуклостью вниз. См. Маятник.

Сферический треугольник

Сфери'ческий треуго'льник, геометрическая фигура, образованная дугами трёх больших кругов, соединяющих попарно три какие-нибудь точки на сфере. О свойствах С. т. и соотношениях между его элементами (углами и сторонами) см. в статьях Сферическая геометрия, Сферическая тригонометрия.

Сферическое отображение

Сфери'ческое отображе'ние поверхности S, непрерывное отображение S на сферу Р единичного радиуса, определяемое по параллельности касательных плоскостей в соответствующих точках поверхности и сферы (С. о. является также отображением по параллельности нормалей). Площадь s' сферического образа областей G поверхности S не меняется при изгибаниях S. Это обстоятельство позволяет рассматривать число s' как внутреннюю меру искривлённости области G (площадь s' рассматривается со знаком в зависимости от направления обхода её границы). Если существует предел К отношения s' к s (s — площадь G), когда область G стягивается к некоторой точке М на поверхности S, то он, очевидно, также не меняется при изгибаниях S и поэтому является внутренней характеристикой искривлённости S в точке М. Это число К называется полной, или гауссовой, кривизной поверхности S в точке М. С. о. поверхности играет важную роль в изучении свойств поверхностей.

Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М., 1951.

Сферическое поле

Сфери'ческое по'ле, центральное поле, понятие теории поля (см. Поля теория). Векторное поле а (Р) называется С. п., если существует такая точка О, что все векторы а (Р) лежат на прямых, проходящих через О, и их длина зависит только от расстояния r точки Р до точки О, то есть а (Р) = f (r) n, где n — единичный вектор прямой. Скалярное поле u (P) называется С. п., если существует такая точка О, что u (P) зависит только от расстояния r точки Р до точки О, то есть и (Р) = j(r). Примеры векторного С. п.: силовое поле, образованное точечным зарядом, поле ньютоновского тяготения материальной точки. Пример скалярного С. п. — поле распределения температуры в изотропном однородном теле при точечном источнике тепла.

Сферо...

Сфе'ро... (от греч. sph'aira — шар), первая часть некоторых сложных слов, имеющих отношение к шару или сфере как геометрическим образам.

Сфероид

Сферо'ид (от сфера и греч. 'eidos — вид), сплюснутый эллипсоид вращения малого сжатия; в более общем смысле — всякая поверхность, близкая к сфере. См., например, Земной сфероид.