Древняя Мексика без кривых зеркал

Скляров Андрей Юрьевич

* * *

Г.Ершова в своей книге «Древняя Америка: полет во времени и пространстве» пишет: «Судя по свидетельствам испанцев, индейцы очень быстро считали и легко могли оперировать огромными числами. Согласно описаниям, математики, а также «бухгалтеры» майя пользовались оригинальным приспособлением из камешков наподобие счетов. Даже на древних изображениях мы видим сидящих рядом с правителями придворных, занятых важными хозяйственными подсчетами. Перед ними разложены мелкие предметы (камешки), в руке у каждого палочка».

Думаю, что, случайно или нет, Ершова привела весьма удачный образ для сравнения — бухгалтерские счеты, которые современное молодое поколение,

возможно, уже и не знает, но которые очень широко использовались не только в бухгалтерии, но и в торговле непосредственно вплоть до замещения их калькуляторами. Дело в том, что в них используется фактически тот же самый принцип, на котором выстроена система записи чисел майя, — комбинированный аддитивно-позиционный принцип. Костяшки счетов представляют собой единицы, а проволочки, на которых расположены костяшки, — соответствующий разряд числа (только в нашей десятеричной системе).

Тому, кто знаком с приемом счета на бухгалтерских счетах (прошу прощения за невольный каламбур), не составит труда наглядно представить себе, как считали индейцы, удивившие этим испанцев. Как только в каком-то разряде (на какой-то проволочке) сумма единиц (костяшек) достигает десяти, они сбрасываются на ноль, а на следующем разряде добавляется единица (костяшка). Результат действия тут же представляется наглядным образом: количество костяшек на определенной проволочке — это значение числа в соответствующем разряде (количество единиц, десятков, сотен и так далее). Все предельно просто и без какой-либо «развитой математики».

^{Рис. 176. Счеты бухгалтерские (ХХ век нашей эры)}

Удивление испанцев еще можно понять, ведь среди них не так много было математиков и профессиональных бухгалтеров или хотя бы ростовщиков, привыкших к оперативному счету. Среди конкистадоров преобладали искатели приключений и наживы, многие из которых вообще не умели толком писать и считать. Но нам-то чему удивляться и чем восхищаться?!.

Таким способом можно отображать и складывать любые числа, в том числе и «огромные»: нужно лишь достаточное количество проволочек на счетах (или ячеек в сеточной таблице, которую использовали индейцы вместо счетов с костяшками) — соответственно разрядности чисел, с которыми проводятся операции.

Данный принцип счета был бы совсем легким, если бы речь шла об оперировании в такой системе записи, где основание всегда одно и то же. Но даже и то, что в системе майя на третьем разряде имеет место нестандартный «выверт» — основание меняется с 20 на 18 с последующим возвратом к 20 — не особо затрудняет процесс.

В случае конструкции бухгалтерских счетов для системы майя могло бы быть применено, скажем, использование на всех проволочках по 20 костяшек, а на одной — третьей снизу — только 18 костяшек. Нечто подобное есть и на наших бухгалтерских счетах, где четыре костяшки некоторые использовали для счета полтинников (монета в пятьдесят копеек), а кто-то просто в качестве визуально наглядного разделения рублей и копеек. Только индейцам — при отсутствии физических костяшек на проволочках — ограничение одного разряда с 20 до 18 нужно было постоянно держать в голове…

Но… Снова есть небольшое «но».

Г.Ершова не конкретизирует, какие именно операции производили индейцы со своими камушками и палочками. Небольшая «недоговорка» в итоге создает представление об индейцах как о прямо-таки фантастических счетоводах с идеально отработанной технологией счета. Снова порождается некоторое «преувеличение» со всеми вытекающими отсюда

последствиями кривого зеркала — разговорами о «развитом математическом знании»…

Дело в том, что принцип устройства бухгалтерских счетов (равно как и система записи чисел майя) позволяет выполнять легко только одну-единственную и самую простую арифметическую операцию — сложение (ну, и — при некотором навыке — обратную к ней операцию вычитания). Только лишь!..

Куда дальше Г.Ершовой заходит в своих утверждениях Питер Томпкинс — представитель противоположного, «альтернативного» исторического лагеря. В своей книге «Тайны мексиканских пирамид» Томпкинс пишет:

«Благодаря системе шахматной доски майя умели обращаться с очень большими числами без особых усилий. Их система была настолько проста, что четырехлетний ребенок мог умножать, делить и извлекать квадратные корни, не нуждаясь в запоминании таблицы умножения. При этом система была настолько универсальна, что домохозяйка могла с ее помощью рассчитывать свой бюджет, а астроном мог составить карту движения звезд на столетие, чтобы вычислить, когда наступит новое затмение… В своей книге «Математическая наука у майя» мексиканский инженер Гектор М. Кальдерон тщательно проанализировал математическую систему майя. Он пишет, что майя умели решать сложные математические задачи… Посредством очень простой системы зерен двух цветов, которые изображены на их памятниках, рисунках, одежде и ковриках, майя могли заниматься хронологическими вычислениями, астрономией, техническим проектированием и архитектурой».

Я еще могу себе представить, что в результате некоторой тренировки можно удерживать в голове ограничение третьего разряда числом 18 вместо 20, и с помощью этого проводить такое нехитрое действие как сложение пары чисел. Однако редкий четырехлетний ребенок вообще умеет заниматься сложением. Да и навык общения со счетами требует определенного времени обучения. Так что тут Томпкинс, мягко говоря, погорячился.

И совсем он уже ударился в фантазии, когда решил усилить воздействие на читателя упоминанием умножения, деления и даже извлечения квадратного корня. Мне, например, не известны в истории четырехлетние дети, которые бы знали, что такое вообще «квадратный корень»…

Но дело даже не в этом, а в том, что принцип построения бухгалтерских счетов — равно как и аналогичный принцип счета камушками по разрядной сетке — совершенно не приспособлен для быстрого исполнения операции умножения. В этом случае максимум, что можно сделать — это на самом деле лишь заменить умножение на операцию сложения соответствующее количество раз. Умножение на небольшие числа таким образом еще как-то можно выполнять, но попробуйте даже на привычных счетах помножить, скажем, 513 на 458 — придется 458 раз (!) добавлять число 513. Другого варианта нет!..

Кстати, авторитетнейший специалист по майянским текстам Майкл Ко в своей книге «Майя. Исчезнувшая цивилизация: легенды и факты» упоминает мимоходом про некую «таблицу «Дрезденского кодекса», которая включает в себя таблицу умножения числа 78». Спрашивается, зачем было бы включать в такой важнейший документ (который содержит в себе известные астрономические таблицы майя), какую-то дополнительную таблицу умножения, если бы эта операция выполнялась легко и свободно?!.

Но даже если сделать скидку на то, что операцию умножения все-таки как-то можно выполнять, пусть и заменяя ее сложением, то для операций деления (и уж тем более извлечения квадратного корня), принцип счета по сетке (аналогичной бухгалтерским счетам) не приспособлен абсолютно. Попытка деления всего лишь на 2 уже выльется в довольно непростой алгоритм, а на 3 и более приводит к таким сложным процедурам, что проще будет вообще не заниматься делением.