Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Декарт осмыслил поставленную задачу и отметил походя, что она довольно проста. Его переводчик — может, озлившись на него, а может, забавы ради — взял незнакомца на слабо и принялся подначивать: дескать, давай, реши-ка. И Декарт решил. Пожилой собеседник ученого, человек по имени Исаак Бекман, сильно изумился, что само по себе целое дело: Бекман был выдающимся голландским математиком своего времени.
Бекман и Декарт так подружились, что Декарт впоследствии писал [114] о Бекмане как о «вдохновителе и духовном отце» его учений. Именно Бекману Декарт четыре месяца спустя описал свои революционные взгляды на геометрию. Письма Декарта другу в следующие пару лет обильно приправлены отсылками к новым представлениям об отношениях между числами и пространством.
114
Muir, стр. 50.
Всю свою жизнь Декарт относился к работам греков весьма критически, однако геометрия раздражала его пуще прочего. Она казалась ему неуклюжей и усложненной без всякой необходимости. Ему, казалось, противны были сами формулировки греческой геометрии, вынуждавшие его трудиться прилежнее потребного. Анализируя задачу, поставленную греком Паппом Александрийским, Декарт писал, что «мне утомительно уже то, сколько всего об этом надо писать» [115] .
115
Muir, стр. 50.
116
Kline, Mathematical Thought , стр. 308.
117
Molland, стр. 40.
Сравним для примера определение круга Евклидом (часть I «Начал») и Декартом — и убедимся в успехах последнего:
Евклид: Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [118] , на которую все из одной точки внутри фигуры падающие [119] прямые равны между собой [120] .
Декарт: Круг есть все х и у, удовлетворяющие уравнению х 2 + у 2 = r 2 для заданного значения r.
118
которая называется окружностью
119
на окружность круга
120
Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Прим. пер.
Даже тем, кто не в курсе, что такое «уравнение», определение Декарта должно показаться проще. И вся штука не в том, чтобы определить, что такое уравнение, а в том, что в декартовом методе круг определяется им. Декарт перевел язык пространства на язык чисел и, что еще важнее, применил этот перевод к перефразированию геометрии в алгебру.
Декарт начал свой анализ с превращения плоскости в подобие графика, изобразив горизонтальную прямую и назвав ее осью х , а вертикальную — осью у . За исключением одной существенной детали, любая точка на этой плоскости описывалась теперь двумя числами: вертикальным расстоянием до горизонтальной оси, обозначенным у , и горизонтальным расстоянием до вертикальной оси, обозначенным х . Точки на плоскости с тех пор записываются в виде «упорядоченных пар» (х; у ).
Но вернемся к существенной детали: если буквально отмерить расстояния, как описано выше, для каждой пары координат (х; у ) найдется более одной точки. Например, рассмотрим две точки, каждая из которых на единичный отрезок выше оси х , но располагаются они по обе стороны от оси у : допустим, одна лежит на два единичных отрезка правее, а другая — на два единичных отрезка левее. Поскольку обе точки расположены на один единичный отрезок выше оси х и обе — в двух единичных отрезках от оси у , в соответствии с нашим рассуждением обе можно описать парой координат (2, 1).
Такая же неоднозначность возникает в почтовых адресах. Могут ли два человека, проживающие по адресу 80-я улица, 137, задрать нос и заявить: «Да я б никогда в том районе жить не стал». Отчего бы и нет? «Вестсайдская история» и «Истсайдская история» — однозначно две разные истории [121] . Математики избавляются от этой неоднозначности в координатах в точности так же, как градостроители — в почтовых адресах, с той лишь разницей, что первые используют знаки «плюс» и «минус», а вторые приписывают к адресу «восточный»/«западный» или «северный»/«южный». Математики подрисовывают знак «минус» к координате х всех точек, размещающихся левее оси у (т. е. «восточной стороне» — «истсайду»), и к координате у всех точек, расположенных ниже оси х (т. е. «южной стороне», или «саутсайду»). В нашем случае у первой точки координаты останутся без изменений — (2, 1), а у второй станут такие: (— 2, 1). Мы делим плоскость на четыре четверти (квадранта) — северо-восточная, северозападная, юго-восточная и юго-западная. У всех точек в «южном» квадранте значение координаты у отрицательное, а у всех точек в «западном» отрицательно значение координаты х . Эту систему обозначения принято называть декартовыми координатами. (На самом деле примерно тогда же аналогичное открытие сделал Пьер Ферма, однако если за Декартом водилась дурная привычка ни на кого не ссылаться в своих публикациях, Ферма имел худшую склонность — не публиковать свои работы вообще.)
121
«Вестсайдская история» (West Side Story) — американский мюзикл 1957 года (музыка Леонарда Бернстайна, слова Стивена Сондхайма), адаптация классической пьесы Уильяма Шекспира «Ромео и Джульетта». «Истсайдская история» — вероятно, одна из серий американского телесериала «Беверли-Хиллз, 90210» (1990–2000). — Прим. пер.
Ясное дело — и мы в этом уже убедились — применения координат как таковых новинкой не было. Птолемей еще во II веке использовал систему координат в своих картах [122] . Но работы Птолемея сводились исключительно к географии. Никакого другого значения — помимо приложимости к земному шару — он в них не видел. Подлинное новаторство идей Декарта применительно к координатам состояло не в них самих, а в том, что Декарту удалось из них извлечь.
Изучая классические греческие кривые, манеру определения которых Декарт столь глубоко презирал, он, тем не менее, обнаружил удивительные закономерности. Например, он изобразил несколько прямых и выяснил, что для любой прямой координаты х и у любой точки на ней всегда связаны простым отношением. Алгебраически эту связь можно выразить уравнением вида ах + by + c = 0, где а, b и с — постоянные, т. е. обычные числа вроде 3 или 41/2, и зависят они лишь от того, какую прямую в данный момент мы рассматриваем. Это означает, что любая точка, описываемая координатами (х, у ), лежит на некоторой прямой тогда и только тогда, когда сумма х , взятого а раз, у , взятого b раз, и с равна нулю. Таково альтернативное — алгебраическое — определение прямой.
122
Описание работ Птолемея см.: Wilford, стр. 25–34. В 1569 г., за несколько десятков лет до рождения Декарта, у картографии случилась своя революция: Герхард Кремер, более известный под своим латинизированным именем Герард Меркатор, издал карту мира новой разновидности. Этой картой Меркатор решил задачу проекции сферы Земли на плоскую поверхность — способом, особенно удобным для навигаторов. И хотя карта Меркатора растягивала и сжимала реальные расстояния, углы между кривыми сохранялись правильные, т. е. на карте они были такими же, как и на земной поверхности. Это важно, поскольку самый простой курс для кормчего — двигаться под фиксированным углом к северу, по указанию стрелки компаса. Математически говоря, важность этой карты в том, что она трансформировала координаты. Сам Меркатор никакой математикой не занимался — он составил карту эмпирически. Картезианская геометрия позволяет производить математический анализ, и в результате понимание картографии получается гораздо глубже. Декарт знал о карте Меркатора, но нам неведомо, насколько успехи картографии повлияли на Декарта — и повлияли ли вообще, поскольку он не утруждался указывать ссылки на чужие работы в своих. О математике, стоящей за трудами Меркатора, см.: Resnikoff and Wells, стр. 155–168.
С точки зрения Декарта, линия есть множество точек с особым свойством: если прирастить одну координату, чтобы получить другую точку того же множества, необходимо прирастить и другую координату в строго заданной пропорции. Его определение круга (или эллипса) устроено по тому же принципу. С единственной разницей: убавляя одну координату, необходимо добавлять к другой так, чтобы (взвешенная) сумма квадратов координат, а не просто координат самих по себе, оставалась неизменной.
За триста лет до Декарта Николай Орезмский тоже подметил, что кривые можно определять через соотношение координат, и тоже вывел некоторое подобие уравнения прямой. Но во времена Орема алгебра еще не имела широкого хождения, и за отсутствием подходящей формы записи Орем не смог развить идею дальше [123] . Декартов метод ассоциирования алгебры и геометрии привел к обобщению представлений Николая Орезмского, и теперь всю греческую математику можно было описать просто и сжато. Эллипсы, гиперболы, параболы — все их, как выяснилось, можно определить через простые уравнения в координатах х — у .
123
Декарт не просто унаследовал всю алгебру, потребную для его работы. Он сам изобрел значительную ее часть. Во-первых, он предложил современный вид записи с применением последних букв алфавита для обозначения неизвестных переменных и первых — для обозначения постоянных. До Декарта язык алгебры не блистал изяществом. К примеру, Декарт записал бы 2 x 2 + x 3, а до него то же выражалось так: «2 Q плюс C », где через Q обозначали квадрат (carre 2), а через С — куб. Запись Декарта совершеннее, потому что она исчерпывающе фиксирует и неизвестное число, возводимое в квадрат и в куб (х ), и характер степеней х (2 и 3). Применив это более изящное написание, Декарт смог складывать и вычитать уравнения и производить с ними другие арифметические операции. Он смог классифицировать алгебраические выражения согласно типу кривой, которую они представляли. Например, он опознал уравнения 3 х + 6 y — 4 = 0 и 4 х + 7 у + 1 = 0 как представляющие прямые, которые он изучил в общем случае ax + by + c = 0. Таким образом, он преобразовал алгебру из науки, изучающей мешанину отдельных уравнений, в дисциплину оформленных классов уравнений, см.: Vrooman, стр. 117–118. Более общую историю алгебраических символов см.: Kline, Mathematical Thought , стр. 259–263, и Resnikoff and Wells, стр. 203–206.
Возможность определять классы кривых по виду их уравнений имеет далеко идущие последствия для науки. Взглянем еще раз, к примеру, на данные, полученные Николаем, но сдвинем запятую в числах на один десятичный знак. Теперь-то понятно, что они такое — это таблица приблизительных средневысоких температур [124] 15-го числа каждого месяца (кроме января) в Нью-Йорке. Ученый может задаться вопросом: есть ли простая взаимосвязь между этими показателями?
124
По таблице, приведенной в «Нью-Йорк Таймс» 11 января 1981 г. и процитированной у Тафта.
Как мы уже видели, отображение этих данных в виде графика дает нам простую геометрическую фигуру — параболу. Знание уравнения, описывающего параболу, дает нам кое-какие предсказательные возможности — позволяет сформулировать «закон средневысоких» для нью-йоркской погоды. Закон таков: обозначим через у температуру ниже 85 градусов по Фаренгейту, а через х — число месяцев до или после 15 июля, и тогда у равен дважды х в квадрате. Опробуем это правило. Чтобы определить, какова будет средневысокая температура в Нью-Йорке, скажем, 15 октября, отметим, что октябрь — через три месяца после июля, т. е. х = 3. Поскольку три в квадрате — девять, средняя температура 15 октября есть дважды по девять, т. е. на 18 градусов ниже показателя 15 июля (85 градусов). Таким образом, по нашему «закону» выходит средняя температура приблизительно 67 градусов. Реальные данные — 66 градусов. Для большинства месяцев закон приложим вполне точно — и его можно применять и для других дней календаря, а не только к 15-м числам месяцев, если вам не лень возиться с дробями.