Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Избавиться от этих затруднений можно лишь путем аккуратного переопределения многих понятий. Как обычно, Гаусс предвидел и это. В 1832 году он писал Вольфгангу Бойяи: «В полном своем развитии смысл слов вроде “между” должен основываться на ясных понятиях, которые можно добыть, но я их пока не обрел» [183] . В этом Риман ему тоже не помог. Но, сосредоточившись в основном на малых областях поверхности, Риман глобальными противоречиями вроде тех, что мы только что обсудили, похоже, не интересовался и не боялся их. И, невзирая на эти открытые вопросы, лекция Римана считается одним из шедевров математики. Но все же из-за этих неувязок она не озарила вселенную математики подобно фотонной торпеде [184] . Гаусс вскоре после этой лекции умер. Риман продолжил разбираться в вопросах местной структуры, нежели широкомасштабной геометрии пространства, и его работа не имела серьезного прижизненного научного
183
Цит. по: Kline, Mathematical Thought , стр. 1006.
184
Вид оружия из американского фантастического сериала «Звездный путь». При запуске очень ярко вспыхивают. — Прим. пер.
В 1857 году в тридцать один год Риман в конце концов стал ассистентом профессора — с унылым жалованьем, приблизительно эквивалентным тремстам долларов в год. На это ученый жил сам и поддерживал трех своих сестер, однако самая младшая, Мари, вскоре умерла. В 1859 году умер Дирихле, заменивший Гаусса на его посту, и Риман сам занял место Гаусса. Три года спустя, в тридцать шесть, он женился. На следующий год у него родилась дочка. Теперь уже с приличным достатком и молодой семьей жизнь Римана вроде бы начала налаживаться. Но, увы, ненадолго. Он подхватил плеврит, переросший в туберкулез, который и добил его — как и его сестер в юные годы — всего в тридцать девять.
Работа Римана в дифференциальной геометрии стала краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна. Не прояви Риман неосмотрительность, включив в свой список тем геометрию, и не будь Гаусс таким настырным, выбрав эту тему, математический аппарат Эйнштейна, потребный для его революции в физике, не существовал бы. Но еще до начала переворота труды Римана по эллиптическим пространствам произвели не менее мощное действие на мир математики. Необходимость видоизменять не только постулат параллельности, но и прочие, оказалась равносильна перетиранию прядей в веревке — и веревка вскоре лопнула. И лишь тогда математики осознали, что на этой веревке висела не только геометрия, но и вся математика.
Глава 20. Лицевая подтяжка на 2000-м году
Лекция Римана 1854 года дождалась публикации лишь в 1868-м — через два года после его смерти и через год после книги Бальцера, пролившей свет на работы Бойяи и Лобачевского. Последствия наработок Римана мало-помалу показали, что Евклид совершил ошибки нескольких разновидностей: он сделал множество негласных допущений, другие толком не доформулировал, а кроме того, попытался определить больше, чем было возможно.
Ныне мы видим огрехи евклидовой аргументации. Проще всего критиковать Евклида за искусственное разграничение между постулатами и «общими понятиями». Глубже лежит наша современная попытка аксиоматизировать любые допущения и ничто не принимать за истину всего лишь на основании «очевидности» или «здравого смысла». Это на самом деле вполне новомодный подход — победа Гаусса над Кантом, — и критиковать Евклида за то, что он не произвел этот рывок, затруднительно.
Еще одна структурная проблема евклидовой системы — непризнание необходимости в неопределимых понятиях. Представим словарное определение пространства как «безграничной емкости или места, распространяющегося во всех направлениях». Осмысленно ли это определение, или оно лишь подменяет расплывчатым термином «место» искомый термин «пространство»? Если у нас нет уверенности, что мы отчетливо понимаем значение «места», можем поглядеть в словаре и его определение. Словарь утверждает, что «место» есть «часть пространства, занятая тем или иным объектом». Эти два слова — «место» и «пространство» — частенько определяются друг через друга.
Хоть и придется повозиться, но поскольку любое слово в словаре определяется другими, обнаружится, что такая подмена происходит с любым определением. Единственный способ избежать логического круга — допустить существование в конечном языке неких словарно неопределимых понятий. Ныне мы понимаем, что и математические системы обязаны включать подобные неопределимые понятия, и стараться включать минимальное их число, необходимое для того, чтобы система оставалась осмысленной.
С неопределимыми понятиями следует обращаться бережно, поскольку легко впасть в заблуждение, вложив смысл в понятие, сначала не доказав этого, даже если этот смысл кажется очевидным из физической реальности. Сабит совершил эту ошибку, приняв за «очевидное» замечание о том, что линия, равноудаленная от прямой, есть прямая. Как мы уже убедились, ничто в системе Евклида, кроме самого постулата параллельности, нам этого не гарантирует. Применяя неопределимые понятия, мы должны отбросить любые коннотации, навязываемые нам словоупотреблением. Перефразируя великого гёттингенского математика Давида Гильберта [185] [186] , заметим, что непременно должна быть возможность заменить «точки», «прямые» и «окружности» на «мужчин», «женщин» и «пивные кружки». Тогда, математически говоря, эти понятия должны насытиться смыслом из самих утверждений — например, первых трех постулатов Евклида:
185
Хилберт
186
David Hilbert, Grundlanden der Geometrie (Berlin: B. G. Teubner, 1930). Эта цитата приведена и в: Kline, Mathematical Thought , стр. 1010–1015, а также: Greenberg, стр. 58–59. Гринберг тоже предлагает интересное обсуждение неопределенных переменных, стр. 9–12.
1. От всякого мужчины до всякого мужчины можно провести женщину.
2. Ограниченную женщину можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого мужчины всякой пивной кружкой может быть описан круг.
Евклид делал и другие ошибки — сугубо логические, и они привели его к доказательствам теорем, в которых некоторые стадии оказались необоснованными. Например, в самом первом предложении он заявляет, что равносторонний треугольник может быть построен на любом отрезке прямой. В доказательстве он строит два круга, центры каждого из которых находятся на концах отрезка, и у каждого радиус равен длине этого отрезка. Далее он берет точку, в которой эти окружности пересекаются. Хотя рисование окружностей нам эту точку ясно покажет, Евклид не дает никаких формальных гарантий существования этой точки. По сути, его системе не достает постулата, обещающего непрерывность линий или окружностей, т. е. что в них нет разрывов. Кроме того, он не сумел распознать и другие допущения, применяемые им в доказательствах, например, что точки и прямые существуют, что не все точки лежат на одной прямой и что на любой прямой есть как минимум две точки.
В другом доказательстве он неявно допустил, что, если три точки лежат на одной прямой, мы можем определять одну из них как лежащую между двумя другими. Ничто в его постулатах или определениях не дает нам доказать это. На деле это допущение — своего рода требование прямизны: оно не допускает кривых, поскольку такие линии могут образовывать замкнутую петлю — к примеру, круг, — и тогда ни одну точку на ней нельзя считать лежащей между двумя другими.
Некоторые возражения доказательствам Евклида смотрятся как придирки, однако невинные очевидные допущения без всяких видимых последствий могут иногда равняться серьезным теоретическим утверждениям. К примеру, допущение существования всего одного треугольника, чья сумма углов равна 180°, позволяет доказать, что у всех треугольников сумма углов составляет 180°, а также позволяет доказать постулат параллельности.
В 1871 году прусский математик Феликс Клейн [187] показал, как устранить очевидное противоречие в сферической модели эллиптического пространства Римана, усовершенствовав попутно и Евклида [188] . Вскоре после этого математики вроде Бельтрами и Пуанкаре предложили свои новые модели и подходы к геометрии. В 1894 году итальянский логик Джузеппе Пеано выдвинул новый набор аксиом для определения евклидовой геометрии [189] . В 1899 году Гильберт, не знакомый с работами Пеано, выдал свою версию формулировки геометрии — в наиболее распространенном ныне виде [190] .
187
Кляйн
188
Gray, стр. 155.
189
Kline, Mathematical Thought , стр. 1010.
190
Более глубокое представление об аксиомах Гильберта можно получить у Гринберга, стр. 58–84.
Гильберт полностью посвятил себя прояснению фундаментальных основ геометрии (а впоследствии помог развить общую теорию относительности Эйнштейна). Он многократно пересматривал свои формулировки — до самой смерти в 1943 году. Первый шаг его метода — превращение неявных допущений Евклида в развернутые утверждения. В свою систему Гильберт — по крайней мере в седьмом издании своего труда в 1930 году, — включил восемь не определенных понятий и увеличил число аксиом Евклида с десяти (включая общие утверждения) до двадцати [191] . Аксиомы Гильберта разделили на четыре группы. Они включают в себя не опознанные Евклидом допущения вроде тех, что мы уже рассмотрели:
191
Kline, Mathematical Thought, стр. 1010–1015.