Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Предел точности в 1 сантиметр в секунду приводит к граничной точности, которая, как и постоянная Планка, — ма-а-аленькая-малюсенькая. Проделав вычисления, выясним, что местоположение шарика мы можем установить с точностью до 10–27 см. Поскольку такой предел не слишком стесняет, возникает знакомый вопрос: и кому это надо? До конца XIX века никому и не было надо — вернее, никто не обращал внимания. Но давайте-ка заменим пинг-понговый шарик на электрон. Как раз такую замену и произвели физики в конце позапрошлого века.
Помните оборот «без учета фактора массы», который столь непринужденно включен в определение импульса? Оно, может, в свое время и не производило особого впечатления, однако именно это уточнение — причина заметности квантовых эффектов в масштабах не пинг-понговых шариков, но атомов.
Мы определили массу шарика для
Если, как и в случае с шариком для пинг-понга, мы определяем скорость электрона с точностью до ± 1 см/сек, местоположение электрона не удастся определить точнее, чем ± 1 см. Такое ограничение точности — совсем не малюсенькое. Напротив, оно довольно заметно. Паршивая выйдет игра в пинг-понг при такой точности определения местоположения шарика, но на атомном уровне ситуация именно такова. Для электронов в атоме определять их местоположение как «ну где-то в радиусе 10–8 см», что и есть примерные размеры атома, означает вынужденную неопределенность в части скорости электронов до 10+8 см/сек, а эта неопределенность практически равна самой скорости электрона.
Квантовой механике в формулировке Гейзенберга и Шрёдингера удалось весьма успешно описать явления и атомной, и даже ядерной физики своего времени. Но применение принципа неопределенности к гравитации в описании теории Эйнштейна приводит нас к довольно диковинным выводам о геометрии пространства.
Глава 32. Битва титанов
Эйнштейнов поиск объединенной теории поля получил не слишком активную поддержку в том числе и потому, что конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой становится очевиден лишь в областях настолько малых, что даже в наши дни нет никакой надежды наблюдать их впрямую. Но Евклид говорил, что пространство состоит из точек, и геометрия должна быть применима к любой сколь угодно малой области, какую только можно вообразить. Если же теории конфликтуют, значит, что-то не так с одной теорией или с обеими — ну или с Евклидом.
Область, в которой возникает этот самый конфликт, часто описывают как ультрамикроскопическую. Для приверженцев строгих цифр: это расстояние порядка 10–33 сантиметра, и называется оно планковской длиной. Для любителей зрительных образов: если увеличить планковскую длину до диаметра яйцеклетки человека, обычный детский игральный шарик раздуется до размеров наблюдаемой Вселенной. Планковская длина — о-очень маленькая. И все же по сравнению с точкой ее размер громаден сверх всякой меры.
Как-то ночью, после работы над этой главой, битва между Эйнштейном и Гейзенбергом явила себя во сне. Сон начался с того, что пришел Николай в образе Эйнштейна и показал мне кое-какие теоретические выкладки, которые он накропал цветным карандашиком в своем школьном альбоме по рисованию:
Николай в роли Эйнштейна: Пап, я открыл общую теорию относительности! Когда вокруг есть материя, пространство искривляется, а в пустом пространстве гравитационное поле равно нулю и пространство плоское. На самом деле, если взять достаточно малую область, пространство приблизительно плоское.
(Тут я уже собираюсь сказать: «Какая замечательная теория! Можно я ее на стенку повешу?» — как входит Алексей.)
Алексей в роли Гейзенберга: Пррошу пррощения. Гравитационное поле, как и любое другое, подчиняется принципу неопределенности.
Николай в роли Эйнштейна: И что?
Алексей в роли Гейзенберга: А то, что в пустом пространстве поле в среднем, может, и ноль, но на самом деле оно флуктуирует в пространстве и времени. И в прям очень маленьких областях эти флуктуации — мегаздоровенные.
Николай в роли Эйнштейна (ноет): Но если гравитационное поле флуктуирует, то флуктуирует и кривизна пространства, потому что мои уравнения показывают, что кривизна пространства связана со значением силы поля…
Алексей в роли Гейзенберга (насмехается): Ха-ха! Это означает, что пространство крошечных областей нельзя считать плоским… На самом деле, если приглядеться поближе — в масштабах планковской длины — возникают крошечные черные дырочки… Некрасиво…
Николай в роли Эйнштейна: Я сказал, хочу, чтобы крошечные области пространства были плоскими!
Алексей в роли Гейзенберга: А вот и нет!
Николай в роли Эйнштейна: А вот и да!
Алексей в роли Гейзенберга: Нет.
Николай в роли Эйнштейна: Да.
…Диалог продолжался в том же духе, покуда я не проснулся весь дрожа. (Это знак! Не следовало ложиться спать, не дописав главу.)
Одновременное применение принципа неопределенности и общей теории относительности к малым областям пространства приводит к фундаментальному противоречию с теорией относительности вообще. Кто прав — Гейзенберг или Эйнштейн? Если прав Эйнштейн, квантовая теория неверна. Но история с квантами не похожа на ошибочную: эксперимент и теория сходятся с точностью выше миллионной доли. Корнеллский физик Тоитиро Киносита, один из ведущих в квантовой электродинамике ученых, называет это «самой достоверной теорией на Земле, а может, и во всей Вселенной — в зависимости от того, сколько в ней инопланетян» [284] .
284
Toichiro Kinoshita, «The Fine Structure Constant», Reports on Progress in Physics , том 59 (1996), стр. 1459.
Если квантовая теория верна, значит, ошибочна теория относительности. Да, у теории относительности были свои поводы торжествовать. Однако есть нюанс. Победы теории относительности связаны с наблюдением макроскопических явлений — со светом, движущимся мимо Солнца, или с летающими вокруг Земли часовыми механизмами. Общая теория относительности в малых масштабах элементарных частиц пока еще не проверена. Измерять воздействие сил тяготения на них невозможно — их массы для этого слишком малы. Поэтому физики предпочитают ставить под вопрос резонность теории относительности, особенно эйнштейновы допущения о приблизительной плоскости мельчайших областей пространства. Быть может, необходимо пересмотреть теорию Эйнштейна в отношении ультрамикроскопических областей.
Если Планк и впрямь победил в споре с Эйнштейном, и метрика ультрамикроскопического пространства флуктуирует в широком диапазоне значений, возникает другой вопрос, поглубже. Какова структура пространства на ультрамикроскопическом уровне? Ключ к ответу, похоже, — в идее, которую Фейнман и другие проглотили с таким трудом и за которую дразнили Шварца, однако он не считал это недостатком, а просто милой особенностью возлюбленной своей теории. В царстве ультрамикроскопичности есть, судя по всему, другие измерения, свернутые в себе самих, настолько малые, что, как и квант в 1899 году, остаются незамеченными. Они и есть ключевой ингредиент в спасительном снадобье для общей теории относительности. Именно о них размышлял, но позднее отбросил десятки лет назад сам создатель теории относительности.
Глава 33. Посланье в бутылке Клейна-Калуцы
За день до своей смерти Эйнштейн попросил, чтобы ему подали его последние расчеты по объединенной теории поля. Он тридцать лет бесплодно пытался изменить общую теорию относительности так, чтобы она охватывала и электромагнитные силы. Один из самых многообещающих вариантов возник у Эйнштейна в 1919 году, в самом начале его поисков, пока он разбирал почту. Идея посетила его сознание не напрямую, а через письмо одного нищего математика по имени Теодор Калуца.