Физика пространства - времени
Шрифт:
Рис. 12. Доказательство того, что координата y любого события одинакова в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты.
Координата y события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Из аналогичных доводов следует, что и координата z любого события одинакова как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Заметим, что обе эти координаты события — и y, и z — отсчитываются в направлении, перпендикулярном направлению относительного
Координата z события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Тот факт, что длины, измеренные поперёк направления относительного движения систем отсчёта, одинаковы, сразу же даёт возможность сравнивать ход часов в обеих решётках. Пусть световая вспышка бегает, отражаясь между двумя зеркалами, установленными в системе отсчёта ракеты на опорных часах и на часах, расположенных в точке с координатой y=1 точно над опорными часами. Такая вспышка будет возвращаться в исходную точку через 2 м светового времени системы ракеты. Траекторию этого светового луча можно проследить и в лабораторной системе вверх до того же самого значения координаты y и снова вниз до опорных часов. Учитывая, что скорость света в обеих системах одинакова, можно вычислить лабораторное время, соответствующее времени распространения света по двухметровому замкнутому пути в системе отсчёта ракеты. В следующем параграфе этот расчёт приведёт к заключению об инвариантности интервала.
5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА
Какая мера характеризует относительное расположение событий A и B и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта?
Расстояние между двумя городскими воротами определяется по значениям разностей координат x этих ворот и по значениям разностей их координат y. Как определить аналогичную физическую величину — пространственно-временной интервал между двумя событиями? Между какими двумя событиями определяется такой интервал?
Пусть событие A — акт излучения световой вспышки. Пусть событие B — акт приёма этой вспышки после того, как она была отражена другим объектом. Эти два акта можно назвать парой событий. Нас не интересуют сами по себе ни свет, ни отражающий его объект. Однако анализ траектории светового луча в пространстве-времени позволяет легко и быстро найти величину (тот самый интервал), которая связана с этой парой событий и значение которой одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
Событие A — акт излучения вспышки
Событие B — акт приёма вспышки
Событие A — лампа даёт вспышку. Её свет распространяется к отражателю R (рис. 13), от которого он снова идёт вниз. Событие B — приём вспышки. Рассмотрим теперь подробности согласно рис. 13.
а) Путь светового луча, наблюдаемый в лабораторной системе отсчёта.
б) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета ракеты.
в) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета сверхракеты.
Рис. 13. Испускание, отражение и приём опорной вспышки (приём происходит в начале координат в системе отсчёта ракеты).
Подробности о координатах событий A и B в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты
Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат x, y, z (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события A (акт излучения):
x
A
=0,
y
A
=0,
t
A
=0,
(в лабораторной системе),
x
A
=0,
y
A
=0,
t
A
=0,
(в системе ракеты).
Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.
В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события B (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:
x
B
=0,
y
B
=0,
z
B
=2
м
.
Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий A и B:
x
=
x
B
-x
A
=
0,
y
=
y
B
-y
A
=
0,
t
=
t
B
-t
A
=
2
м
.
В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии x вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние x; если скорость мала, то мало и x. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно x/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной
2
1+(
x/2)^2
Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой
t
=
t
B
–
t
A
=
2
1+(
x/2)^2