Физика пространства - времени
Шрифт:
(Длина)
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
=
=
(
x'
cos
r
+
y'
sin
r
)^2
+
(-
x'
sin
r
+
y'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
cos^2
r
+
2(
x')(
y')cos
r
sin
r
+
(
y')^2
sin^2
r
+
+
(
x')^2
sin^2
r
–
2(
x')(
y')sin
r
cos
r
+
(
y')^2
cos^2
r
=
=
[(
x')^2
+
(
y')^2]
·
(sin^2
r
+
cos^2
r
)
=
=
(
x')^2
+
(
y')^2
(подчёркнутые
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение
cos^2
r
+
sin^2
r
=
1
играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).
Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал
Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении
ch^2
r
–
sh^2
r
=
1.
Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:
Интервал
собственной
длины
^2
=-
Интервал
собственного
времени
^2
=
=
Удалённость
в пространстве
^2
–
Удалённость
во времени
^2
=
=
(
x)^2
–
(
t)^2
=
=
(
x'
ch
r
+
t'
sh
r
)^2
–
(
x'
sh
r
+
t'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
ch^2
r
+
2(
x')(
y')ch
r
sh
r
+
(
t')^2
sh^2
r
–
– [
(
x')^2
sh^2
r
–
2(
x')(
y')sh
r
ch
r
+
(
t')^2
ch^2
r
]=
=
[(
x')^2
–
(
t')^2]
·
(ch^2
r
–
sh^2
r
)
=
=
(
x')^2
–
(
t')^2
.
Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца оставляет неизменным выражение для интервала.
Обратное преобразование Лоренца
Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (x', t') на язык лабораторной системы координат (x, t). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от x и t к x' и t'? Если первый словарь соответствовал формулам
x
=
x'ch
r
+
t'sh
r
,
t
=
x'sh
r
+
t'ch
r
,
(36)
то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами
x'
=
xch
r
–
tsh
r
,
t'
=-
xsh
r
–
tch
r
.
(37)
Доказательство. Подставьте последние выражения для x' и t' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).