Физика пространства - времени
Шрифт:
В табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через e обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через i обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что i^2=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих i. Угол берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4x3x2x1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6
Таблица 8.
Тригонометрические и гиперболические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
1.
sin
=
ei– e– i
2i
1.
sh
=
e– e–
2
2.
cos
=
ei+e– i
2i
2.
ch
=
e+e–
2
3.
tg
=
sin
cos
3.
th
=
sh
ch
4.
sin
=
–
^3
3!
+
5!
–
7!
+…
4.
sh
=
+
^3
3!
+
5!
+
7!
+…
5.
cos
=
1
–
^2
2!
+
4!
–
6!
+…
5.
ch
=
1
+
^2
2!
+
4!
+
6!
+…
6.
tg
=
+
^3
3
+
2
15
+…
6.
th
=
–
^3
3
+
2
15
– …
СООТНОШЕНИЯ
7.
sin(-)
=-
sin
7.
sh(-)
=-
sh
8.
cos(-)
=
cos
8.
ch(-)
=
ch
9.
tg(-)
=-
tg
9.
th(-)
=-
th
10.
cos^2
+
sin^2
=1
10.
ch^2
+
sh^2
=1
11.
sin(+)
=
sin
cos
+
+
cos
sin
11.
sh(+)
=
sh
ch
+
+
ch
sh
12.
cos(+)
=
cos
cos
–
–
sin
sin
12.
ch(+)
=
ch
ch
–
–
sh
sh
13.
tg(+)
=
tg +tg
1-tg tg
13.
th(+)
=
th +th
1-th th
СПОСОБЫ БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ СМЕРТНЫХ
При малых
При малых
sin
sh
tg
th
Пример
:
=0,1
Пример
:
=0,1
Быстрая оценка:
Быстрая оценка:
sin 0,1
sh 0,1
tg 0,1
th 0,1
Точные значения:
Точные значения:
sin =0,0998
sh =0,1002
tg =0,1003
th =0,0997
При больших
sh e
/2
ch e
/2
Пример
:
=3, e
20.
Быстрая оценка:
sh 10
th 10
Точные значения:
sh =10,018
th =10,068
Упражнения к главе 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Можно без труда проанализировать важные направления современных исследований, если опираться на теорию относительности. Такой анализ решающим образом зависит от физической интуиции, которая развивается на основе опыта. Опыт же не может быть теперь приобретён в лаборатории, так как даже простые эксперименты по теории относительности очень сложны и дороги ввиду громадной величины скорости света. Альтернативой этим простым экспериментам должны послужить следующие упражнения, в которых обсуждаются разнообразные следствия структуры пространства-времени. Эта структура вновь и вновь проявляется, когда мы обсуждаем разные вопросы: