Хаос и структура
Шрифт:
2. Теперь мы можем перейти и к терминологической фиксации изучаемой диалектической позиции. Число, рассмотренное с точки зрения [тождества] внутреннего и внешнего в условиях чистого становления, есть переменная величина. Эта категория переменной величины, как она ни проста сама по себе, требует диалектического разъяснения, потому что эта простота есть простота только вычислительная, а не диалектическая. Диалектически же формулировать эту категорию не так уж просто. Сущность переменной величины, как она употребляется в математике, сводится также к трехсоставной структуре, поскольку самая категория ее возникает на почве внесения сюда момента иррационального числа. Эта трехсо–ставность выявлена здесь в том смысле, что 1) переменная величина в основе своей содержит некую внутреннюю числовую структуру, что 2) эта структура может принимать те или иные числовые значения, являющиеся по сравнению с нею самою внешним ее выражением, и, наконец, 3) что эта структура не только может принимать разные числовые значения, но и фактически принимает их и в действительности, таким образом, совершенна и не остается неизменяемой. Ни один из этих моментов не может быть исключен из понятия переменной величины, но они возникают лишь на почве сравнения чистого становления с синтетической внутренно–внешней структурой; когда мы говорим, что радиус в круге есть величина постоянная для данного круга, то это постоянство возможно только как результат сравнения численного, т. е. внешнего, значения радиуса с самим радиусом, понимаемым как некая внутренняя значимость. И когда мы говорим, что расстояние от центра тяжести качающегося маятника до точки его
3. Но и само понятие переменной величины все еще настолько обще, что вполне возможна и необходима также и дальнейшая детализация. Прежде всего само собой понятно, что раз есть переменная величина, то должна быть и постоянная величина. Постоянную величину иногда и определяют в математике как переменную, приращение которой равно нулю; постоянная величина есть, таким образом, вид переменной величины. И нет нужды распространяться в трехсоставности категории постоянной величины, потому что если отношение окружности к диаметру во всех кругах одинаково и есть величина постоянная, то утверждать это можно, естественно, только когда 1) есть в уме само это отношение, 2) есть отвлеченная мысль о возможности этому отношению меняться в связи с размерами круга и 3) есть полная фактическая невозможность для этого отношения быть изменчивым. Это элементарно очевидно. Очевидно также и то, что постоянная и переменная величины находятся между собою в состоянии взаимной противоположности, что если одну из этих категорий принять как тезис, то другая будет обязательно антитезисом. Будем считать постоянную величину тезисом той общей сферы становящейся отрицательности, которая рассматривается нами в свете иррационального числа. Тезис всегда ведь есть только потенция антитезиса и как бы сам антитезис, но в нулевой форме. И естественно постоянную величину принять как тезис и переменную как антитезис, хотя в порядке нашего исследования и ради определенных целей понятности мы пришли сначала к переменной величине и хотя ровно с тем же правом можно было бы переменную величину считать тезисом, а антитезисом — постоянную. Интереснее другое. Интереснее вопрос, что же получится из соединения постоянной и переменной величин в один единый диалектический синтез. Интереснее то, какая новая категория возникает, если мы зададимся целью дать внутренно–внешнее тождество алогически становящегося числа, являющегося сразу и постоянной, и переменной величиной. Перейдем к этому.
4. Тут возникает одно из фундаментальных понятий всей математики, и в особенности математического анализа; и здесь мы должны соблюсти сугубую осторожность, субтильность диалектического исследования. Именно, здесь рождается категория непрерывности, непрерывной величины.
а) Что непрерывная величина есть вид переменной величины, это ясно само собой. Непрерывно то, что меняется или что может меняться. Перемена логически предшествует непрерывности, ибо перемена может быть и непрерывной, и прерывной. Но должно быть столь же ясным и то, что непрерывность есть также вид постоянства. Чтобы быть непрерывным, надо, во–первых, меняться. Но поскольку не всякое изменение непрерывно, необходимо еще дополнительное условие. Необходимо, чтобы вещь не только переходила от точки А к точке , но чтобы этот переход не приводил вещь к разрыву, т. е. чтобы точка А в то же время не отрывалась от точки В. Как это ни странно с иной точки зрения, но непрерывность— только там, где действительно нет ни малейшего перерыва между отдельными моментами изменения вещи. Иначе для чего и употреблять такой термин? Однако отсутствие перерыва между отдельными моментами изменения есть в конце концов какое–то отсутствие различия между ними. Они различны так, что в то же время остаются вполне тождественными между собою, как и тождественны они — в меру своего различия. Но величина, которая меняется так, что между отдельными моментами ее изменения нет ровно никакой разницы, уже не есть величина переменная. Это, наоборот, величина вполне постоянная. И таким образом, постоянство и изменение должны в одинаковой мере войти в непрерывность, которая и есть такое изменение, что изменяющееся остается постоянным, и такое постоянство, что постоянное пребывает в измененном. Непрерывность без изменения есть только абстрактное и неподвижное тождество разных теоретически установленных смысловых моментов; в ней нет никакого движения, так что неизвестно, как же происходит переход от одного момента к другому в случае, именуемом как непрерывное движение. Непрерывность без постоянства есть чисто алогическая стихия, в которой становится неизвестно что и в которой нет никакого расчленения, так что неизвестно, что же именно непрерывно. В обоих случаях непрерывность вполне перестает быть непрерывностью и становится прерывностью. Итак, непрерывность есть безусловное тождество постоянства и изменения.
b) Мало этого. Можно ли непрерывность назвать только безусловным тождеством постоянства и изменчивости? Такое определение и наименование было бы совершенно правильным, если бы всегда отдавался точный отчет в употреблении терминов «постоянство» и «изменчивость». Обычно не обращают внимание на то, что оба эти понятия указывают не на плоскостную, но рельефную, а именно трехсоставную, структуру. Постоянным и переменным может быть только то, в чем есть противоположность внутреннего и внешнего и в чем эта противоположность определенным образом уравновешена. Как мы уже видели, переменно то, что, во–первых, есть нечто само по себе, — скажем, число, — а во–вторых, принимает разные внешние значения, — скажем, количественные размеры. Тогда, зная, что эти значения здесь наличны фактически или потенциально, мы именуем данную величину переменной. Раз переменная и постоянная величины вошли в непрерывную величину, то тем самым в последнюю вошла и уравновешенная антитеза внутреннего и внешнего. Непрерывно то, в чем внутреннее и внешнее так совпали в единое нерушимое тождество, что уже нельзя сказать об этом тождестве, постоянно ли оно или переменно, и необходимо говорить, что оно в одинаковой мере и постоянно, и переменно.
Что было бы, если бы имелось только одно тождество постоянства и изменчивости, и в это тождество не вносилась бы антитеза внутреннего и внешнего, и понятия постоянства и изменчивости обладали бы чисто плоскостным характером, не указывая ни на что внутреннее и внешнее? В этом случае мы имели [бы] голое и пустое становление, которое хотя и мыслится вначале как непрерывное, но не есть сама непрерывность, ибо может быть и прерывным. Становление плоскостно, поскольку в нем совершенно не ставится вопроса о характере становления. Оно, взятое само по себе, не структурно, ибо оно — лишь первый результат синтеза бытия и небытия; и та реальность, которая ему свойственна (а реальность тут не может не быть, поскольку тут тоже налична трех–составность бытия, небытия и самого становления), совсем не та, которая давала бы структуру уже готовому становлению. Становление, взятое без антитезы внутреннего и внешнего, есть только принцип, в то время как непрерывность есть уже приложение этого принципа. Становление не структурно как становление; непрерывность же есть определенное структурное оформление самого становления. В становлении поставлен вопрос: перешло ли бытие в небытие или нет? И разрешен положительно: да, бытие здесь перешло в небытие и синтезировалось с ним. Совсем другой вопрос стоит в сфере непрерывности. Если бы здесь стоял такой вопрос, то в сфере непрерывности шла бы речь о том, стоит ли на месте данная вещь или развивается. Но разве этим мы интересуемся, когда говорим о непрерывности? Тут вовсе дело не в том, движется ли данная вещь или покоится. Этого очень мало для понятия непрерывности. Дело здесь в том, что вещь уже пребывает в становлении, что становление здесь уже сформировано и не прекращается ни при каких условиях, и только говорится о том, какое же именно тут становление, какова структура этого становления. Именно, в сфере непрерывности ставится такой вопрос:
5. Если мы вспомним те рассуждения, которые обычно сопровождают в математике тему о непрерывных величинах и функциях, то легко убедиться, что эти рассуждения возможны только на основе развитого здесь диалектического учения.
Элементарное определение непрерывной величины сводится в математике к тому, что разница между двумя значениями данной величины может стать меньше любой заданной величины. Если данная величина именно такова, что к любой точке ее становления применимо условие исчезающе малого расстояния ее от соседней точки, то эта величина — непрерывна.
Уже тут выясняется необходимость вводить в понятие непрерывности как тождество постоянного и переменного, так и тождество внутреннего и внешнего. Первое тождество образует собою всю стихию алогического становления, без которого не могло бы происходить движение, но [с] исчезающе малым расстоянием; второе же тождество обусловливает собою антитезу самой величины с теми или другими ее отдельными значениями.
Далее, хотя мы еще не раскрыли понятия функции, все же можно, базируясь не на диалектическом, а пока на чисто математическом ее понимании, привлечь сюда и обычное определение непрерывной функции. Как известно, функция называется непрерывной в данной точке тогда, если ее значение в данной точке может быть с какой угодно точностью выражено через всякое другое ее же значение при условии достаточной близости аргументов к этой точке, другими словами, для непрерывности функции <f(x)> необходимо и достаточно, чтобы если есть какое угодно малое положительное число , то всегда существует тоже другое число [], в силу которого для всех точек, где </ — /<> , существует также неравенство
</f(x) — f(a)/<> ·
Иначе:
<Iim f(x) = f(a) = b) .
В точке [b ] функция указывается тем пределом, к которому стремятся значения любого ряда чисел, стремящихся к пределу. Если <f (х)> стремится к [b ] как к своему пределу, то этот предел равен как раз значению функции от [х]9 когда [х] станет равным [а]. Это определение непрерывной функции обязательно предполагает, что 1) уже есть становление двух величин, т. е. тождество постоянства и изменчивости, становление функционально связанных между собою величин, что 2) это становление облекается в новую форму, принимая те или иные значения, откуда антитеза внутреннего и внешнего, и, наконец, что 3) эта новая форма развивается так же последовательно, как и само становление, теоретически взятое. Иначе говоря, в непрерывной функции точно так же, как и вообще в непрерывной величине, чистый алогизм и не–расчлененное становление объединяются с антитезой внутреннего (основная структура) и внешнего (отдельные количественные значения) содержания.
Говоря о том, как определяется непрерывность в математике, стоит привлечь рассуждение Дедекинда о сечениях в области вещественных чисел, с которым мы уже столкнулись выше, в [§ 60.7]. Аксиома непрерывности вещественных чисел гласит, как мы помним, следующее. Пусть мы имеем две области вещественных чисел А и 5, о которых известно, что каждое вещественное число принадлежит или к А, или к В и что всякое число а из А меньше всякого числа b из В. Называя эту границу, делящую область всех вещественных чисел, разделом или сечением, получаем следующую аксиому непрерывности вещественных чисел: сечение Дедекинда в области вещественных чисел определяет всегда одно, и только одно, вещественное число [с] так, что всякое [а < с ], всякое [b > с]. Сразу как будто бы не видно тождество этой аксиомы непрерывности с развитым у нас учением о непрерывности. Но отдадим себе отчет в том, что значит эта аксиома. Тут имеется в виду та самая диалектика границы, которая развивается в общей диалектике. В общей диалектике доказывается, что 1) граница есть часть ограниченного и что 2) граница в то же время есть часть ограничивающего, т. е. что граница отличается от ограниченного и ограничивающего и граница тождественна с тем и другим. Это обеспечивает для границы и способность ее отделять одну область от другой, и в то же время незанимаемость ею никакого специального места, которое бы имело хоть какие–нибудь размеры. Такую границу, или сечение, можно провести в любом месте общей сферы вещественных чисел, и во всяком таком месте все числа, примыкающие с одной стороны, подходят к этой границе настолько близко, что вполне сливаются с нею, равно как и все числа, примыкающие с другой стороны, тоже подходят к ней настолько близко, что вполне сливаются с нею. Это строение сферы вещественных чисел и называется непрерывностью. Существует только одна и единственная точка, разделяющая обе сферы чисел. И если бы общая сфера вещественных чисел была бы прерывна, то граница, отделяющая здесь одну область от другой, отнюдь не везде была бы равна точке. В местах разрыва эта граница имела бы то или иное протяжение, которое измерялось бы уже линейными мерами, а не оставалось бы просто точкой, не имеющей ни одного измерения.
Теперь спросим себя: можно ли утверждать существование раздела Дедекинда и, стало быть, можно ли утверждать непрерывность вещественных чисел, если мы не будем знать ничего о количественном значении чисел а и b, входящих в ту или иную область чисел А и Совершенно понятно [178] , что общая линия, символизирующая нарастание вещественных чисел при передвижении слева направо, должна быть здесь еще раз перекрыта новым слоем исчисления, который бы показал, что реальные количественные значения отдельных ее точек могут приближаться друг к другу как угодно близко, вплоть до полного слияния. Стало быть, оба основные момента, входящие в понятие непрерывности, здесь налицо — алогическое становление и определенным образом уравновешенная противоположность внутреннего и внешнего.
178
В рукописи: не понятно.