Хаос и структура
Шрифт:
То же самое необходимо сказать и о той теореме, т. н. теореме включения, которая является прямым выводом из аксиомы непрерывности. Пусть нам даны интервалы прямой так, что они оказываются вложенными один в другой, причем длины этих интервалов уменьшаются как угодно много и становятся меньше всякой любой заданной величины. В таком случае и возникает теорема включения: существует всегда одна, и только одна, точка, которая принадлежит всем интервалам одного включения. Интервалы включения стремятся к этой точке. Здесь еще виднее то перекрытие, которому подвергается данная линия, когда мы укладываем на ней все меньшие и меньшие интервалы. Из этого перекрытия ясно и само доказательство этой теоремы. Доказательство это заключается в том, что если бы было две таких точки включения, а не одна, то длина всех интервалов не могла бы быть меньше расстояния между этими точками или в крайнем случае равнялась бы ему, а мы условились, что длина интервала может стать меньше любой заданной величины. Все время, значит, идет разговор, во–первых, об определенной линии, а во–вторых, о ее новом перекрытии, и, в–третьих, устанавливается определенное отношение между тем и другим. Первое, конечно, есть внутренний остов для второго, являющегося чем–то внешним и, отвлеченно рассуждая, даже необязательным; третье же есть специальное тождество первого и
6. Три категории — постоянная величина, переменная величина и непрерывная величина — освещены нами достаточно для наших целей. Все они определены как синтетическое тождество внутреннего числового содержания и его внешнего фактического осуществления, в чем их полная аналогия с иррациональным числом. И все они являются не чем иным, как стихией алогически становящейся отрицательности, рассмотренной в свете иррационального числа, или — иррациональным числом, рассмотренным в свете алогически становящейся отрицательности. Наметили мы и между этими тремя категориями определенное взаимоотношение. Они связаны между собою как диалектическая триада, в которой постоянная величина, являясь тезисом, полагает собою упомянутое тождество как «неподвижное», т. е. как различно–самотождественное бытие, переменная же, являясь антитезисом, дает это тождество как подвижное инобытие, точнее, как устойчиво подвижное инобытие; и наконец, непрерывная величина, являясь синтезом бытия и инобытия в некоем новом становлении, утверждает общую определенную единичность внутренней дробности и внешней отрицательности как синтез постоянного и переменного. В точных диалектических формулировках эти три категории имеют следующий вид. Общей сферой для них является алогически становящаяся отрицательность, рассмотренная как иррациональное число, т. е. как тождество внутренней дробности и внешнего алогического становления, или, наоборот, — это самое тождество, рассмотренное как алогически становящаяся отрицательность. Отсюда и — наши формулы.
Величина [постоянная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность— в своем (неподвижном) самотождественном различии.
Величина [переменная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность в своем (подвижном покое].
Величина [непрерывная) есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как новое алогическое [становление]. Или: непрерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как синтез постоянной и переменной величин.
Короче: постоянная величина есть иррациональность в своем самотождественном различии, переменная—иррациональность в своем подвижном инобытии; непрерывная величина — иррациональность как становящийся синтез (или определенная единичность) постоянной и переменной величин.
Все эти определения и введенные для них термины надо понимать исключительно так, как это было разъяснено в предыдущем анализе. Всякое малейшее отклонение от принятого выше понимания терминов способно превратить все эти формулы в полную бессмыслицу. Так, нельзя «отрицательность», «отрицание» понимать чисто арифметически или алгебраически. Отрицание здесь есть диалектическое инобытие утверждения, а не просто действие, которое в математике обозначается знаком минуса. Для подчеркивания этого обстоятельства в формулу введены слова «алогическое» и «становящееся», хотя, строго говоря, достаточно было бы употреблять только один из этих терминов. Нечего, далее, удивляться, например, тому, что момент «дробности» введен в определение постоянной величины. Постоянство как противоположность изменчивости содержит в себе последнюю на стадии нуля, т. е. потенциально. А всякая изменчивость возможна только там, где имеется частичная проявленность, т. е. некое дробящееся и, следовательное, дробное основание. Так же и «бытие» нужно понимать в этих формулах так, как мы понимаем эту категорию в общей диалектике: бытие здесь — твердо полагаемое нечто, устойчивое или, вернее, пока еще не перешедшее от чистой положенности ни в какие иные качественные обстояния. Это именно и закрепляет алогическое становление на одной точке и превращает его длительную стихию в неподвижную значимость постоянного количества. И т. д. и т. д. Разъяснять эти термины во второй раз не стоит. Нужно только напомнить, что эти термины взяты в строго определенном и специфическом значении. А даже если лучше было бы употребить какие–нибудь другие термины, то от этого существо дела не изменилось бы. Важна в конце концов не словесная оболочка термина, а его внутренняя смысловая значимость.
7. Три изученные категории возникли как рассмотрение в свете цельной иррациональности — первого момента, входящего в иррациональное число, а именно в свете отрицания. Но мы знаем, что иррациональность есть синтез внешнего отрицания и внутренней дробности. Последняя также может быть рассмотрена в свете иррациональности. И что же получится из этого? Надо, стало быть, взять дробное число, но — погрузить его в стихию иррационально становящегося тождества постоянства и изменчивости. Когда мы сделали вывод трех указанных категорий, мы погружали иррациональность в чистое становление; алогически становящаяся отрицательность застигала там чистую иррациональность и превращала ее в непрерывно текучую форму становления, т. е. в непрерывность. Теперь, наоборот, выступает не внешнее алогическое становление на первый план, но внутренняя дробность, и она является здесь главным предметом внимания. Но в иррациональности главное — это определенным образом данное тождество внутреннего и внешнего. При выводе трех разнообразных категорий это тождество внутреннего и внешнего дано внешними и притом алогически становящимися средствами. Теперь же мы должны дать это тождество внутреннего и внешнего внутренними и притом дробно осмысленными средствами. В первом случае все отдельные моменты текучей иррациональности сливаются в одну непрерывную массу, во втором же случае те или иные (а может быть, и все) моменты текучей иррациональности разрываются ввиду привхождения дробящей силы внутреннего числового содержания. В первом случае мы, придавая те или иные количественные значения данной величине, убеждаемся, что любая точка становления этой величины способна подвергнуться той или иной количественной значимости без риска прервать равномерное протекание самой величины в смысле возрастания или убывания. Мы сравниваем тут возрастание или убывание величины с самой величиной и убеждаемся, что величина продолжает везде действовать так же, как и раньше. Иная картина — в новом случае,
В прерывной величине, как и в непрерывной, имеется обычная антитеза внутреннего и внешнего, синтезированная как рациональное и как иррациональное число. Но когда эта антитеза залита внешне–становящимся материалом, тогда в ней не проявляется никакое начало, которое бы вносило ту или иную раздельность или расчлененность в образующийся общий непрерывный поток становления величины. Когда же начинает выступать дробность вместо алогического протекания, непрерывность начинает внутренне различаться и разделяться и — переходит в свою противоположность, в величину прерывную.
Таким образом, прерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данная как внутренняя дробность. Или короче: прерывная величина есть иррациональность, данная как внутренняя дробность.
Можно и здесь расчленить понятие на три последовательных диалектических этапа, отграничивая непрерывность сначала извне и тем полагая для нее прерывные границы, потом — внося дробление вовнутрь непрерывности и тем полагая различные границы внутри нее самой и, наконец, — давая чистое и общее понятие дробной непрерывности, или прерывности вообще. В первом случае мы получим непрерывность в определенных пределах, т. е. между определенными точками; во втором — непрерывность в одной точке и в третьем, наконец, — прерывную величину в общем и собственном смысле слова.
Кажется, примеры прерывной величины для демонстрации вышеизложенного понятия прерывности излишни. Но все–таки возьмем какую–нибудь прерывную функцию и отметим на ней указанные нами моменты этой категории. Пусть имеется функция tga; при возрастании от 0° до 90° тангенс возрастает от 0 до +. При дальнейшем [179] увеличении от 90 до 180° тангенс изменяется от — до 0. В моменте, когда угол равняется 90°, происходит разрыв тангенса и он [от] + мгновенно переходит к — Имея это в виду, спросим себя: что нужно для осуществления этого разрывного момента и какие категориальные моменты его конструируют? Нужно, во–первых, чтобы речь касалась становления и, во–вторых, не просто становления, но становящегося а, [что] должен быть переменной величиной. В–третьих, этот а не просто есть переменная величина, но он должен и фактически меняться, причем это изменение есть опять–таки не просто изменение, но изменение, в котором бы целиком воплощалось становление как таковое, т. е. изменение непрерывное. И вот, наконец, когда непрерывно изменяется от 0 к 90°, мы, наконец, вдруг замечаем это удивительное [180] явление, что данная функция tga разрывается и лишается своей непрерывности. От чего это зависит? Это зависит исключительно от внутреннего чисто смыслового содержания тангенса, который именно потому, что он — тангенс, производит разрыв в точке 90°. Стало быть, необходимо, в–четвертых, чтобы внешнее непрерывное изменение получало отдельную структуру от внутренней значимости этого tga. В данном случае эта внутренняя значимость действует как <…> и — в определенной точке разрывает протекание tga. На этом примере совершенно ясно участие в категории прерывной величины таких моментов, как становление, изменение, непрерывность, внутреннее и внешнее и синтез внутреннего и внешнего.
179
В рукописи: идеальнейшем.
180
В рукописи: убывательное.
Между прочим, на этом примере с тангенсом прекрасно видно то диалектическое понимание дробности, которое мы употребляем здесь и употребляли раньше. Дробность у нас не есть просто арифметическое понятие. Дробность есть целость, данная в своем инобытии так, что имеется только это инобытие целости, а не сама целость. В этом смысле тангенс есть дробящая и дробящаяся стихия, потому что ее внешний результат приводит к разрыву и дроблению цельного, структуры становления.
Если мы рассмотрели первый момент иррационального числа (становящуюся отрицательность) в свете самого иррационального числа (и получили три особые категории — постоянной, переменной и непрерывной величины), если мы, далее, рассмотрели второй момент иррациональности (внутреннюю дробность) в свете самой иррациональности (и получили еще новую категорию— прерывной величины), — то теперь необходимо рассмотреть само иррациональное число (как синтез внешней алогически становящейся иррациональности и внутренней дробности) в свете самой же иррациональности. Что значит рассмотреть иррациональность в свете самой иррациональности, т. е. рассмотреть ее как таковую, в ее существе, в ее первоначальном и чистейшем существе? Это значит рассмотреть самый исток иррациональности, определить ее исходную сущность, найти самый ее перво–принцип. Иначе можно сказать так. Поскольку эта новая структура есть синтез, она должна быть границей для первого момента, для тезиса триады. Граница должна дать первоначальное очертание сущности, отразить [181] ее смысловую природу, ясно отличить ее от всего, что не является ею. Найти перво–принцип—это и значит уметь провести границу или быть в состоянии сказать нечто, отличивши это нечто от всего прочего. Так вот и возникает вопрос: где же нам искать самый перво–принцип иррациональности и, стало быть, где же находится смысловая граница, определяющая эту иррациональную сущность и дающая ее определенную и специфическую значимость? Где эта смысловая законченность иррациональности и как называется этот новый синтез внутренней дробности и внешней алогически становящейся иррациональности, синтез, уже освобожденный от самой иррациональной текучести и являющийся лишь ее перво–принципом, ее внутренней закономерностью и исходным первоначалом?
181
В рукописи: отрезвить.