Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:

Ему удалось установить контакт с Ли, который, впрочем, оказался не слишком плодотворным. Сначала Киллинг написал Клейну, который свел его с помощником Ли Фридрихом Энгелем, в то время работавшим в Христиании. Киллинг и Энгель сразу нашли общий язык, и Энгель превратился в активного сторонника его деятельности, помог ему преодолеть некоторые сложности и призывал развивать свои идеи и дальше. Без Энгеля Киллинг мог бы и забросить это дело.

Сначала Киллинг полагал, что знает полный список простых алгебр Ли и что это алгебры so( n) и su( n), соответствующие двум бесконечным семействам [49] групп Ли — специальным ортогональным группам SO( n),

состоящим из всех вращений в п-мерном пространстве, и их аналогам SU( n) для комплексных п-мерных пространств, так называемых специальных унитарных групп. Историк Томас Хокинс представлял себе «изумление, с которым Энгель читал письмо Киллинга, содержащее эти смелые предположения. Какой-то малоизвестный профессор из Лицея, посвятившей себя образованию лиц духовного звания в глухом углу Восточной Пруссии, поддерживает общение с авторитетнейшими учеными и высказывает гипотезы о глубоких теоремах из разработанной Ли теории групп преобразований».

49

Семействам потому, что при каждом n= 2, 3, … имеется своя алгебра Ли каждого вида. (Примеч. перев.)

Летом 1886 года Киллинг посетил Лейпциг, где работали Ли и Энгель. К сожалению, между Ли и Киллингом возникли трения; Ли никогда не отдавал должного работам Киллинга и старался принизить их значимость.

Киллинг быстро обнаружил, что его исходное предположение о простых алгебрах Ли было неверным, ибо он открыл новую алгебру, которой соответствует группа Ли, известная сейчас как G 2. Ее размерность равнялась 14, и она, в отличие от специальных линейных и ортогональных алгебр Ли, судя по всему, не принадлежала к какому-либо бесконечному семейству. Она представляла собой одинокое исключение.

Если это казалось странным, то еще более странной была окончательная классификация, которую Киллинг получил зимой 1887 года. К двум бесконечным семействам Киллинг добавил третье — алгебры Ли sp(2 n), соответствующие тому, что сейчас известно как симплектические группы Sp(2 n). (В наше время ортогональные группы разбивают на два различных подсемейства в зависимости от того, действует ли группа на пространстве четной или нечетной размерности, что приводит к наличию четырех семейств; на то есть веские причины.) А исключительная группа G 2приобрела пятерых спутников: двух с размерностью 56, а также короткое семейство, быстро подходящее к концу, с размерностями 78, 133 и 248.

Классификация Киллинга была получена с применением длинных алгебраических рассуждений, с помощью которых всю проблему удалось свести к прекраснейшей задаче из геометрии. Из гипотетических простых алгебр Ли он сумел извлечь конфигурацию точек в многомерном пространстве, известную теперь как система корней. Ровно для трех простых алгебр Ли система корней живет в двумерном пространстве. Эти корневые системы показаны на рисунке.

Системы корней в размерности два.

Эти диаграммы обладают высокой степенью симметрии. Они несколько похожи на узоры, которые видны в калейдоскопе, где два зеркала, расположенные под углом друг к другу, создают множественные отражения. Эта схожесть неслучайна, потому что системы корней имеют чудесные, изящные группы симметрии. Известные ныне как группы Вейля (что несправедливо, потому что изобрел их Киллинг), они представляют собой многомерные аналоги узоров, образованных отражаемыми объектами в калейдоскопе.

Структура в основе доказательства Киллинга состоит в том, что поиск всех возможных простых алгебр Ли можно вести, разбивая алгебры на симпатичные куски, аналогичные структурам, обнаруженным в su( n). Тогда классификация сводится к геометрии этих кусков с использованием их чудесных симметрий. Разобравшись с геометрией этих кусков, можно привязать результаты к задаче, которую на самом деле требовалось решить, — задаче нахождения возможных простых алгебр Ли.

Киллинг выразил это таким образом: «Корни простой системы соответствуют простой группе. Обратно, можно рассматривать корни простой группы как порожденные некоторой простой системой. Таким образом получаются простые группы. Для каждого lимеются четыре структуры, а при l= 2, 4, 6, 7, 8 к ним добавляются исключительные простые группы». Здесь слово «группа» используется как сокращение выражения «инфинитезимальная группа», что в наши дни называется алгеброй Ли, а l— размерность системы корней.

Четыре структуры, о которых говорит Киллинг, — это алгебры Ли su( n), so(2 n), so(2 n + 1) и sp(2 n), соответствующие семействам групп SU( n), SO(2 n), SO(2 n + 1) и Sp(2 n) — унитарным группам, ортогональным группам в пространстве четной размерности, ортогональным группам в пространстве нечетной размерности и симплектическим группам в пространстве четной размерности.

Симплектические группы служат симметриями переменных «координата-импульс», введенных Гамильтоном в его формулировке механики, и число размерностей всегда четно, потому что переменные координата-импульс объединены в пары. Помимо этих четырех семейств Киллинг утверждал существование в точности шести других простых алгебр Ли.

Он был почти прав. В 1894 году французский геометр Эли Картан заметил, что две Киллинговы 56-мерные алгебры — это на самом деле одна и та же алгебра, рассматриваемая двумя различными способами. Это означает, что имеется только пять исключительных простых алгебр Ли, соответствующих пяти исключительным простым группам Ли: старая знакомая Киллинга G 2и четыре других, которые сейчас называются F 4, E 6, Е 7и E 8.

Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248 [50] ? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:

50

Пожалуй, современный ответ на этот вопрос — тем, что это размерности исключительных алгебр Ли. (Примеч. перев.)

• вытянутые параллелепипеды размеров 1, 2, 3, 4, …,

• кубы размеров 1, 2, 3, 4, …,

• плиты размеров 1, 2, 3, 4, …,

• пирамиды размеров 1, 2, 3, 4, ….

Само по себе это выглядит прекрасно, но далее список продолжается так:

• тетраэдры размера 14,

• октаэдры размера 52,

• додекаэдры размера 78,

• додекаэдры размера 133,

• додекаэдры размера 248.

И все, больше ничего нет.

Почему существуют кирпичи этих странных форм и размеров? Для чегоони?

Поделиться:
Популярные книги

Особое назначение

Тесленок Кирилл Геннадьевич
2. Гарем вне закона
Фантастика:
фэнтези
6.89
рейтинг книги
Особое назначение

Её (мой) ребенок

Рам Янка
Любовные романы:
современные любовные романы
6.91
рейтинг книги
Её (мой) ребенок

Я Гордый часть 2

Машуков Тимур
2. Стальные яйца
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я Гордый часть 2

Адепт. Том второй. Каникулы

Бубела Олег Николаевич
7. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.05
рейтинг книги
Адепт. Том второй. Каникулы

Императорский отбор

Свободина Виктория
Фантастика:
фэнтези
8.56
рейтинг книги
Императорский отбор

Законы Рода. Том 6

Flow Ascold
6. Граф Берестьев
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Законы Рода. Том 6

Начальник милиции. Книга 3

Дамиров Рафаэль
3. Начальник милиции
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Начальник милиции. Книга 3

Огненный князь 3

Машуков Тимур
3. Багряный восход
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Огненный князь 3

Восход. Солнцев. Книга VI

Скабер Артемий
6. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VI

Страж. Тетралогия

Пехов Алексей Юрьевич
Страж
Фантастика:
фэнтези
9.11
рейтинг книги
Страж. Тетралогия

Мастер 7

Чащин Валерий
7. Мастер
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
попаданцы
технофэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Мастер 7

Волк 5: Лихие 90-е

Киров Никита
5. Волков
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Волк 5: Лихие 90-е

Сломанная кукла

Рам Янка
5. Серьёзные мальчики в форме
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Сломанная кукла

Идеальный мир для Лекаря 18

Сапфир Олег
18. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 18