Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Умли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извстны начала алгебры и даже въ такой мр, что они могли ршать квадратныя уравненія. Поэтому вполн слдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.
Тройное правило.
Нтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневковыхъ ариметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ r`egle dor'ee—золотого правила. Оно противополагалось цлой наук—алгебр.
За что же воздаются такія неумренныя похвалы отдлу, который въ наше время привыкъ занимать уже боле скромное мсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ
Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда боле медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же рост наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умнье, даетъ человку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариметика. Съ одной стороны греческіе ученые видли въ ариметик боле всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрли на ариыетику скоре со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневковую Европу. Въ ней оно встртило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполн благодарной: посл великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ длать», а не «почему такъ длать». И вотъ практическая окраска осталась за ариметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмст съ тмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрчалось «такъ длай», «длать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примнять къ длу; у нашего Магницкаго тоже встрчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобртенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариметики, въ ней особенно выдлялось и цнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.
«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ариметик XVII вка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товархъ и торгхъ силу знаютъ и во всякихъ всхъ и мрахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи зло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».
Но какая же часть ариметики можетъ боле дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не ршеніе задачъ? Поэтому вс старанія средневковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продаж, и о покупк, о векселяхъ и о процентахъ, о смшеніи, объ обмн; пестрота была ужасная и разобраться во всей масс задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нсколько сгруппировать и ввести нкоторую систему и порядокъ, пытались распредлить вс задачи по отдламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредлялись не по способамъ ихъ ршенія, какъ бы слдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по вншнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о двицахъ и т. п.
Ршеніе задачъ съ раздленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать ршеніе. Да и понимать-то, по мннію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.
«Это ничего», утшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».
Вмсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примнять это къ длу, т. е. къ примрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на боле скромномъ—на томъ, какъ примнить общее правило къ примрамъ.
И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примнить это правило было сравнительно нетрудно. За вс эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.
Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи ршались большею частію приведеніемъ къ единиц. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному
Правило предписывало ршать эту задачу слдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 длить на 100.
Особенное вниманіе, стали удлять тройному правилу съ ХVІ-го вка, т. е. съ тхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобртеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мр, съ нашей точки зрнія. Прежде всего опредлялось правило чисто вншнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздлить на 1-е число». Такое опредленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно ршать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумніе учебники не считали нужнымъ. Кром того, ршались задачи не только съ цлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариметикахъ он располагались такъ непослдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариметики дробныхъ чиселъ.
Посл тройного правила съ цлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род слдующаго: «Если мра зерна стоитъ 1 1/2 марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлба; сколько пудовъ хлба дадутъ на марку, если мра зерна стоитъ 1 3/4 марки; ршаемъ тройнымъ правиломъ, получится
но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ
.»
Въ подобномъ дух трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)
«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нкій господинъ призвалъ плотника и веллъ дворъ строити, давъ ему двадцать человкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человкъ достоитъ имти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумяся вопрошаетъ тя ариметиче: колико человкъ ему достоитъ имти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погршиши; но подобаетъ ти не тако: 30—20—5, но сице превративъ: 5—20—30; 30 X 20=600; 600 : 5=120».
За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вк такъ:
имъ производятся такія вычисленія, которыхъ нельзя произвести по другому правилу; въ немъ дается 5 чиселъ, и по нимъ отыскивается шестое искомое число; напр., нкто пустилъ въ оборотъ сто рублей, и они принесли ему прибыли 7 р., спрашивается, сколько прибыли онъ получилъ бы съ 100 р. на 5 лтъ;
ршается такъ: 100—1—7—1000—5, перемножь два лвыхъ числа, а также перемножь 3 правыхъ числа и послднее произведеніе раздли на первое, будетъ въ отвт 350, столько рублей прибыли дастъ 1000 р. въ теченіе 5 лтъ.
Простое и сложное тройное правило распредлялись обыкновенно въ XVI—XVIII вв. на массу мелкихъ отдловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,—то же, что и предыдущее, но только посложне; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ вывскою», когда приходится длать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убытк»; e «статья вопросная въ тройномъ правил», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гд спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.