Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
t
=
k
N
,
(10.17)
где
N
=
r
n(r)
dr
.
(10.18)
Величина N есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см^2 над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим
r
=
1
1+kN
.
(10.19)
Если
r
=
1
.
1
+
3
k
N
4
(10.20)
Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).
2. Модель Эддингтона.
Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.
Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.
Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде
cos
dI
dr
=-
(
+
)
I
+
+
B
(T)
.
(10.21)
Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины I:
cos
dI
dr
=-
(
+
)
I
+
I
d
4
+
B
(T)
.
(10.22)
Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре посредством соотношения d=-dr, вместо (10.22) находим
cos
dI
d
=-
(
+1)
I
–
d
4
–
B
(T)
,
(10.23)
где обозначено
=
.
(10.24)
Вообще говоря, величина является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что =const.
Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:
I
=
I
d
4
,
H
=
I
cos
d
4
.
(10.25)
Величина I представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4H — поток излучения.
Умножив (10.23) сначала на d/4, а затем на cos d/4, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим
dH
d
=
I
–
B
,
(10.26)
1
3
dI
d
=
(1+
)
H
.
(10.27)
Здесь мы использовали приближённое соотношение
I
cos^2
d
4
=
1
3
I
.
(10.28)
Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения I:
d^2I
d^2
=
3(1+
)
(
I
–
B
).
(10.29)
Для величины B(T), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от . В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно B(T). В качестве общего же решения этого уравнения находим