Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

=

(1-)

1+

.

(10.63)

Перепишем уравнение (10.62) в виде

S(t)

=

2

0

E|t-t'|

S(t')

dt'

+

g(t)

,

(10.64)

опуская для простоты на время индекс .

Свободный член этого уравнения является линейной функцией от t т.е.

g(t)

=

c

+

ct

.

(10.65)

Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить

K(t)

=

2

Et

=

2

1

e

^{– tx}

dx

x

,

(10.66)

то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра K(t) в форме (3.17) имеем A(x)=/2x.

Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции S(0,x) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая x=1/ и S(0,x)=, вместо (3.20) имеем

=

1+

2

1

0

(')

+'

d'

.

(10.67)

При =1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).

Функция , впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 — значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].

Таблица 11

Значения функции

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,00

1,06

1,09

1,14

1,15

1,17

1,18

1,20

1,21

1,25

0,2

1,00

1,09

1,15

1,23

1,26

1,29

1,31

1,34

1,37

1,45

0,3

1,00

1,11

1,19

1,30

1,34

1,39

1,42

1,46

1,51

1,64

0,4

1,00

1,13

1,22

1,36

1,41

1,48

1,52

1,57

1,64

1,83

0,5

1,00

1,14

1,25

1,41

1,48

1,56

1,61

1,67

1,76

2,01

0,6

1,00

1,15

1,27

1,46

1,53

1,63

1,69

1,77

1,88

2,19

0,7

1,00

1,16

1,29

1,50

1,58

1,69

1,76

1,85

1,98

2,37

0,8

1,00

1,17

1,31

1,54

1,63

1,75

1,83

1,93

2,08

2,55

0,9

1,00

1,18

1,32

1,57

1,67

1,81

1,89

2,01

2,18

2,73

1,0

1,00

1,18

1,34

1,60

1,71

1,85

1,95

2,08

2,27

2,91

Таблица 12

Значения моментов функции

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

1,00

1,13

1,23

1,38

1,44

1,52

1,57

1,63

1,73

2,00

0,50

0,58

0,64

0,74

0,77

0,83

0,86

0,90

0,96

1,15

0,33

0,39

0,43

0,50

0,53

0,57

0,59

0,63

0,67

0,82

Функция S(t) являющаяся решением уравнения (10.64), может быть выражена через функцию . Однако нас сейчас интересуют лишь профили линий поглощения. Поэтому мы должны найти только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величину I(0,). Как мы знаем, величина I(0,) также выражается непосредственно через функцию .

В данном случае, т.е. когда g(t) является линейной функцией от t, для определения интенсивности излучения I(0,) мы должны использовать формулы (3.41) и (3.48). Первая из них получена при g(t)=1, вторая — при g(t)=t Как следует из формулы (3.27), при ядре вида (10.66)

S(0,0)

=

1

1-

.

(1.68)

Поэтому находим

I(0,)

=

1-

c

+

c

+

2

1-

,

(1.69)

где — первый момент функции .

Сопоставляя между собой свободный член уравнения (10.60) и выражение (10.65) для функции g(t), получаем следующее выражение для интенсивности излучения, выходящего из атмосферы в частоте :

I

(0,)

=

1-

1+Q

1+