Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Аналогично получаем
g
=
B
(T)
pd
+1
–
1/2
1
e
– x
A(x)
dx
,
(11.19)
где
A(x)
=
1
x^2
(x)
p
d
(11.20)
и
Уравнение (11.14) может быть решено методом, изложенным в § 3. Однако нас интересует не сама функция S, а только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы. Эту же величину можно найти по формулам, приведённым в § 3, без предварительного определения функции S. При этом она будет выражена через функцию S(0,x), определённую уравнением (3.20).
Из формулы (11.19) мы видим, что свободный член уравнения (11.14) состоит из двух частей: постоянной и суперпозиции экспонент. Поэтому, обозначая через S(,x) решение уравнения (11.14) при свободном члене e– x, получаем
S
=
B
(T)
S(,0)
pd
+1
–
–
1/2
1
S(,x)
A(x)
dx
.
(11.21)
Подставляя (11.21) в (11.11) и пользуясь формулой (3.19), находим
I
(0,)
=
+1
B
(T)
S(0,x)
x
x
S(0,0)
pd
+1
–
x
2
1
S(0,y)
x+y
A(y)
dy
+
B(T)
+1
.
(11.22)
Входящая в формулу (11.22) величина S(0,0) может быть найдена при помощи соотношения (3.27). Принимая во внимание (11.17), вместо этого соотношения имеем
S^2(0,0)
=
1-2
0
K
d
=
1.
(11.23)
Подставляя сюда выражение (11.15), получаем
S^2(0,0)
pd
+1
=
1.
(11.24)
Поэтому формула (11.22) принимает вид
I
(0,)
=
+1
B
(T)
S(0,x)
x
pd
+1
1/2
–
x
2
1
S(0,y)
x+y
A(y)
dy
+
B(T)
+1
.
(11.25)
Формулой (11.25) и даётся искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы внутри спектральной линии. Вне линии интенсивность излучения в данном случае равна B(T). Поэтому для величины r имеем
r
=
I(0,)
B(T)
(11.26)
Функция S(0,x), через которую выражается интенсивность излучения I(0,), определяется уравнением (3.20). Полагая x=1/z и S(0,x)=(z), вместо этого уравнения получаем
(z)
=
1+
z(z)
1
0
(z')
z+z'
A
1
z'
dz'
z'
.
(11.27)
В новых обозначениях формула для r записывается в виде
r
=
1
+1
+
+1
(z)
x
x
pd
+1
1/2
–
1/2
1
0
(z')
z+z'
A
1
z'
dz'
z'
.
(11.28)
Для вычисления величины r по формуле (11.28) необходимо найти функцию (z) из уравнения (11.27). Это легко достигается численными методами.
Формула (11.28) даёт окончательное выражение для величины r, определяющей профиль линии поглощения при полностью некогерентном рассеянии. Эта формула может быть легко обобщена на тот случай, когда функция B(T) представляется в виде линейной функции от и учитывается флуоресценция [7].
Следует подчеркнуть, что предположение о полном перераспределении излучения по частоте сильно упрощает теорию образования спектральных линий. При таком предположении, в большинстве случаев оправдывающемся на практике, были решены многие важные задачи, относящиеся к звёздным спектрам (см. [8]). Однако при решении некоторых частных задач (особенно касающихся резонансных линий) должны использоваться истинные законы перераспределения излучения по частоте внутри линии.
3. Центральные интенсивности линий поглощения.