Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
1. Возбуждение и ионизация атомов.
Как известно, при термодинамическом равновесии степень возбуждения и ионизации атомов определяется формулами Больцмана и Саха. Строго говоря, в звёздных атмосферах термодинамическое равновесие отсутствует. Однако и в этом случае в качестве первого приближения пользуются всё-таки формулами Больцмана и Саха. Поэтому при рассмотрении физических условий в звёздных атмосферах мы должны прежде всего остановиться на этих формулах.
Пусть Ei — энергия i-го уровня атома и gi — его статистический вес (или кратность уровня). Обозначим через ni число атомов с энергией Ei
n
i
=
C
g
i
exp
–
Ei
kT
,
(13.1)
где C — некоторая постоянная.
Из формулы (13.1) получаем
ni
n
=
gi
g
exp
–
– i
kT
,
(13.2)
где обозначено Ei– i. Величина i представляет собой энергию ионизации с i-го уровня, а величина -i — энергию возбуждения этого уровня. Формула (13.2) называется обычно формулой Больцмана.
Формулу (13.1) можно применить и к состояниям с положительной энергией, в которых электрон не связан с атомом. Это даёт возможность найти отношение числа ионов к числу нейтральных атомов. Формула, определяющая это отношение (так называемая формула Саха) имеет вид
n
e
n
n
=
g
g
2(2mkT)^2/^3
h^3
exp
–
kT
,
(13.3)
где n — число ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см^3, g — статистический вес этого состояния, ne — число свободных электронов в 1 см^3.
Аналогичные формулы служат и для нахождения числа атомов в следующих стадиях ионизации. В частности, отношение числа дважды ионизованных атомов к числу однажды ионизованных атомов даётся формулой
n
e
n
n
=
g
g
2(2mkT)^2/^3
h^3
exp
–
'
kT
,
(13.4)
где n — число дважды ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см^3, g — статистический вес этого состояния, ' — энергия ионизации из основного состояния однажды ионизованного атома.
Применим в качестве примера приведённые формулы к атому водорода. В данном случае gi=2i^2 и i=/i^2. Поэтому формула (13.2) принимает вид
ni
n
=
i^2
exp
–
kT
1
–
1
i^2
.
(13.5)
В частности, для второго уровня имеем
n
n
=
4
exp
–
117 900
T
.
(13.6)
Из формулы (13.6) следует, что при господствующих в звёздных атмосферах температурах в тысячи кельвинов подавляющее большинство атомов водорода находится в основном состоянии. Однако с увеличением температуры степень возбуждения атомов быстро растёт.
Из формулы (13.5) также видно, как меняется число возбуждённых атомов с увеличением номера уровня i. Если температура не очень высока, то величина ni/n с увеличением i сначала убывает, а затем растёт, причём при очень больших i она растёт приблизительно пропорционально i^2. Отсюда следует, что если бы осуществлялись все уровни атома, то полное число атомов в возбуждённых состояниях было бы бесконечно большим. Однако в действительности из-за возмущений, вызываемых посторонними частицами, высокие уровни атомов не осуществляются. Поэтому число атомов во всех возбуждённых состояниях оказывается обычно гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.
При применении формулы ионизации (13.3) к атому водорода мы должны положить g=1, g=2, /k=157 200. В результате находим
n
e
n
n
=
2,4·10^1
T^2
/
^3
exp
–
157 200
T
.
(13.7)
Степень ионизации зависит не только от температуры T но и от концентрации свободных электронов ne. Поскольку же значение ne в звёздных атмосферах сравнительно мало, то даже при не очень высоких температурах степень ионизации может быть большой. Например, полагая ne10^1^2, из формулы (13.7) получаем, что уже при T10 000 K значение n/n для водорода будет порядка 300.
При практических расчётах формула ионизации (13.3) часто используется в виде
p
e
n
n
=
2
g
g
(2m)^3/^2(kT)/^2
h^3
exp
–
kT
,
(13.8)
где pe — электронное давление, равное
p
e
=
n
e
kT
.
(13.9)
Производя логарифмирование, вместо (13.8) получаем
lg
p
e
n
n
=-
5040
T
+
2,5
lg
T
–
0,48
+
lg
2g
g
.
(13.10)
Здесь электронное давление pe выражено в барах (1 бар = 1 дина/см^2), а энергия ионизации — в электронвольтах. Под электронвольтом понимается энергия, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт (1 эВ = 1,60·10^1^2 эрг).