Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Шрифт:
Дважды два могло значить четыре для земных чувств, но для души это значение было безгранично.
По утверждению Платона, философ должен знать арифметику (пифагорейскую). Он должен обдумывать число до тех пор, пока его внутренняя природа не станет понятна разуму, что важно для здоровья самой души. Поскольку число – наиболее прямое из всех средств для перехода от «становящегося» к «существующему», от изменения и гниения до неизменности и бессмертия. Действительно, число существует первоначально, чтобы душа могла подниматься от мимолетного до бессмертного и раствориться в вечности. Геометрия тоже выводит душу от становления к существованию и подготавливает ее к участию в Добродетели. Реальной целью обоих остается знание, то знание, стремление к которому у арифметики и геометрии не преходяще, а вечно. То же и с музыкой, если ее математизировать и влить в Красоту и
На мирском уровне арифметика – преимущественный вид знания, в котором высокородные персоны должны разбираться очень хорошо. Было сказано, что она важна для всего человечества, потому что ее необычность воздействует возвышенно на умы людей. Действительно, знание математики обязательно для героев, полубогов, богов и иных субъектов, которые могут подниматься высоко вверх к высочайшим знаниям, в частности, математические знания важны для богов, так как в математике присутствует элемент жребия, которому даже боги не способны противостоять.
Что касается самой математики, она парит над обманом чувств в вечной свободе в сфере абсолютных реальностей. Если Фалес мог лишь смутно представлять в своих абстракциях общие параметры, предоставляемые чувствами, то Платон особо подчеркнул, что геометры не работают с видимыми линиями своих чертежей, а, наоборот, пристально разглядывают «абсолютные площади, абсолютные диаметры» и так далее – «вещи в себе», которые могут
быть «увидены» только с помощью разума. Хотя абстракция может происходить от чувственного опыта, истина, которую познает математика, не есть степень чувств или величина переменная, как точка зрения, но есть величина идеальная и абсолютная, вкратце – знание. Разум или даже душа не принимает участия в создании математических истин, а просто находится в курсе их существования, если должным образом подготовлена. Именно в этом последователи Пифагора, и Платон среди них, расходятся с большинством математиков XX века.
Одним из наиболее спорных аргументов философа в пользу независимого существования математических истин является то, что в человеческом теле отсутствует орган чувств, приспособленный для их регистрации. Оказавшись за пределами восприятия с помощью зрения, слуха, обоняния, вкуса и прикосновения, скорее угаданные разумом или душой, эти истины должны существовать вне зависимости от чувств. Их неоспоримое существование разрешает конфликт между чувствами и интеллектом, между точкой зрения и знанием, между кажущимся и реальным и является единственно достаточным доказательством сверхчеловеческой сферы неизменного Сущего.
Естествознание подобным же образом свидетельствует в пользу неизменного, которое выше перемен, но только в той части, где представлены выводы на основании арифметики или геометрии. Из этого следует, что соответствующие достоверности нескольких наук могут быть справедливо доказаны посредством математики, на которую они опираются. Так как «боги всегда геометры» и все, что не в гармонии с геометрией, может быть только иллюзией абсолютной реальности, измышленной божеством.
Часто цитируемый афоризм о геометризации божественного больше похож на описку или временное помутнение рассудка у Платона. В действительности ничего подобного нет в его записях. Афоризм приписывают Платону. Безусловно, это противоречит пифагорейской вере, которой всегда придерживался Платон и которую он стабилизировал в своих собственных идеальных числах. Измененная версия, предложенная в XIX веке другим великим пифагорейцем К.Г.Я. Якоби (1804–1851), стоит ближе к философии Платона: «…бог всегда арифметизирован». В дальнейшем высказывание было дополнено другим величайшим специалистом в области арифметики в истории Ю.В.Р. Дедекиндом (H.W.R. Dedekind, 1831–1916), понятия не имевшим о пифагорейцах; его вариант стал вполне человеческим: «…человек всегда арифметизирован». Между первым и последним прошло двадцать три века противоречивых философий, обращавшихся к математике, чтобы подтвердить свое исключительное право на существование.
Если Платон сумел приукрасить бесполезную математику языком вдохновленного ангела, он также без труда оговорил полезную математику со всем присущим ему пренебрежением и презрением рассерженного человека, обеспокоенного сверх меры тем, что казалось ему безобразностью и банальностью простой жизни. Его философское спокойствие исчезало при мысли о божественной математике на смиренной службе человечеству. Он признавал свое равнодушие к элементарным возможностям арифметики и геометрии смешным и заслуживающим осуждения. Кто не знает таких простых вещей, говорил он, больше напоминает свинью, чем человека. Но на этом он остановился, резко осудив полезность как мотив для изучения арифметики и геометрии. Все полезные ремесла, утверждал он, низкого происхождения и по сути своей убоги. Те, кто увидит в своих математических устремлениях «только ленивые басни в отсутствие материальной прибыли, которую можно получить», заслуживает саркастической усмешки. Но зачем тогда он так решительно бранил астрономов, которые предпочитали выверять движения невидимых планет из своих вычислений, вместо наблюдений за планетами на небе? А как быть с физиками, которые рискнули проверить акустические явления, перебирая струны, чтобы быть заклейменными предателями Истины и изменщиками своей высокой миссии? Досталось даже профессиональным математикам.
Их обвинили в подмене реальных целей геометрии по выяснению абсолютной Истины потребностями бытия в геометрии. Геометрам следовало напоминать своих собратьев из Академии Платона. Но ни один геометр с тех пор не проявлял столько глупости и не сходил с пути, поддавшись ужасной путанице со значениями слова «необходимое». Не были, к слову сказать, столь тупыми ни Фалес, ни Пифагор. Что касается порицания наблюдателей-астрономов и физиков-экспериментаторов, то все вернулось на круги своя критикой отсутствия прямого контакта с природой через несколько сотен лет бесполезной чистой науки.
Но неодобрение прикладной математики и эмпирического естествознания, к которым Платон относился с презрением, можно отбросить в сторону (что и делалось), как простое свидетельство проявления справедливого недовольства теми, кто не осознал его великих целей. Для среднего натуралиста эпохи Платона сам Платон был чем-то сродни современному физику-теоретику для дилетанта-любителя, занятого бессистемными опытами. Он не искал интересных или эффектных результатов. Фактически, он занимался обобщением, чтобы увязать все достижения, и искал метод, который бы безошибочно раскрывал любую устойчивую реальность в любом ее проявлении, скрытую в любом свидетельстве, полученном от чувств. Его идеальные числа, возможно, дали ему требуемое обобщение, а его диалектика, как он верил, дала ему метод. Для всего этого нужна была предварительно идеализированная теория математических процедур и математических истин. Сегодня его цель совпадает с размышлением современных пифагорейцев, подменивших принципами эпистемологии платоновские идеальные числа, а математическим анализом – его диалектику. И пусть подмена совершена во имя великих целей, но старая мелодия легко узнаваема и звучит так же: «Все сущее есть число», наблюдение и опыт излишни и ведут к заблуждению.
Каждое вырванное из контекста высказывание Платона, касающееся математики, дает абсолютно искаженное представление о том, что он действительно думал по конкретному поводу. Например, говорят (но есть сомнение, что это правда), что над входом в свою Академию он повесил транспарант: «Да не войдет в эту дверь тот, кто не сведущ в геометрии». Не очень-то соответствует его собственному отношению к геометрии. Миф это или нет, Платон поместил над входом это предупреждение, чтобы ученики Академии, настроенные на изучение его собственной диалектики, не забывали приобретать навыки в элементарном логическом рассуждении.
Философия в Академии не была пустым времяпрепровождением для уклонистов от науки, а действительно серьезным занятием для восприимчивых молодых людей. Большая часть приблизительно соответствует курсу математической логики в наши дни. То была метаматематика его времени: критическое осмысление оснований для убеждений, гипотез, постулатов и моделей умозаключений, математических и иных.
Пусть даже часть из обсуждавшегося в Академии больше не представляет интереса для математиков или современных логиков, Платон все равно заслуживает уважения за то, что побудил математиков задать вопрос, чем же (если вообще чем-то) они занимаются. Он и его ученики развивали одно из главных направлений, касавшееся происхождения математических истин, и даже если отдельные современные математики находят платоновскую реальность подобных истин незрелой, если не абсолютно абсурдной, то некоторые, не менее компетентные, воспринимают мировоззрение Платона разумным и вполне убедительным. Итак, что бы кто бы ни думал о математической философии Платона, он не в состоянии ни возвеличить, ни низвергнуть эту философию без упоминания видных имен в математике. Как сказал бы Сократ, реальность математики – это вопрос разных точек зрения, но не разного уровня знаний, а споры по поводу ее состоятельности – всего лишь словесные баталии ни о чем.