Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Шрифт:
Согласно Сократу, опыт показал, что слуга не знал, какие знания хранятся в его голове до поры до времени, пока они не потребуются. Способность мальчика дать правильные ответы на вопросы доказывает, что математические истины, спящие в его мозгу, «были просто разбужены в нем» во время опроса, «как под гипнозом». Далее, «знания, которые он теперь имеет» он должен «или накапливать, или навсегда оставить при себе». Но поскольку мальчик никогда не ходил в школу и не изучал математику, следует отдать предпочтение второй возможности.
Сократ, кажется, сам поверил, что сформулировал свой тезис. Математические знания непреходящи. Души владеют ими до нашего рождения, забывая их
– Я чувствую, что мне нравится то, что вы говорите. Не очень искушенный в правилах поведения, Сократ ответил:
– И мне, Менон, нравится то, что я сказал. Известнейшим образцом доктрины припоминания на чисто интуитивной основе стала «Ода намеку на бессмертие» Вордсворта. Подобно большинству поэтов, подпавших в юности под влияние реализма Платона, Вордсворт не верил, в отличие от верившего Сократа (Платона?), что логические и научные знания были унаследованы вместе с душой. Реализм в понимании Платона исходит от эмоций, а не от разума. Мистику, математику и прочее найти еще можно. Одно из предназначений мистицизма – моментальное знание о реальности прямой интуицией без посредничества чувств или разума. Настоящая мистика не нуждается в доказательствах, как у Сократа. Для него они не нужны, неуместны и бессмысленны.
Доказав бессмертие души, Сократ быстро перешел к бессмертию добродетели. Нет необходимости следовать за ним. Все его (или Платона?) усилия по доказательству предположения такого рода фундаментально не отличаются от представленного. Для ума, жаждущего быть убежденным, наиболее убедительными из всех попыток Платона установить «объективную реальность мироздания» (таких, как истина, добродетель, любовь, человек, знания и т. д.) были те, что касались общеизвестных истин арифметики и геометрии. И значит, так оно и было, раз Сократ убедил Менона. Платон не был ни первым, ни последним, кто искал математическое постоянство среди ускользающих воспоминаний о событиях прошлого. Из века в век у думающих людей сохраняется потребность найти отдельные признаки постоянного убежища в вечно существующем потоке, который время от времени бросает их на скалы (или в болото) предполагаемо вечной математики.
Суть реализма Платона – мистическая доктрина об Идеях и Формах. По мнению ряда экспертов, записи Платона содержат как минимум две теории Идей. Математики, согласные с Харди, которого уже цитировали в первой главе, в том, что «математическая реальность лежит вне нас», не нуждаются в убеждении самих себя, которую из теорий Идей им стоит использовать для поддержания собственной уверенности. Одна, чтобы объединить все, предоставляет им изобилие взаимно подтверждающих аргументов. Нет необходимости беспокоить тех, кто интересуется вместе с Казнером, как человеческие создания когда-то додумались поверить в платоновскую реальность математики, школьными сомнениями о том, в которую из версий своей теории, если таковые имеются, в конечном счете верил сам Платон. Любой единичный аргумент из скопления всевозможных аргументов в состоянии показать, что подтолкнуло реалистически мыслящих математиков разглядеть «объективную реальность» математики. Выбрав один из самых простых, рассмотрим его по «Фаэдо» в части «реального» равенства.
Чувства никогда не указывают на точное равенство двух предметов, очищение путем измерений всегда показывает расхождения, не установленные простым наблюдением. Следуя этим путем, если чувственная очевидность что-то и говорит нам, то необходимо беспредельное количество очисток от примесей. Хотя действительно достоверное равенство находится за пределами чувств, разум не испытывает проблем в установлении равенства с абсолютной точностью. Если это «реальное» равенство никогда не достижимо для чувственного наблюдения, где оно и что оно собой представляет?
Логик-позитивист из школы экстремалов мог бы сказать, что этот вопрос лишен смысла. Экспериментатор будет настаивать, что любое предположение, например «длина этих двух палочек равна», имеет значение, только в случае, если предположение включает в себя средства его проверки. «Абсолютное равенство существует» в предположении, которое не выдержит этот тест. Это образец метафизических утверждений, что с научной точки зрения лишено всякого смысла. Такие утверждения не обязательно не важны. Многие из них ограничивают человеческое поведение, а некоторые начинали длительные и кровавые войны. Они просто не имеют значения для науки. Важны ли они для чистой математики? Математик-реалист не сомневается в данном вопросе. Для него абсолютное, идеальное равенство существует, но никогда полностью не проявляется.
Равенство как идея всегда одинаково. Будучи неизменным, оно остается единственно возможным объектом знания во всех данных вопросах. Поскольку, если измеренные длины двух металлических прутов, скажем, «равны» по длине, измеренной микрометром, но подвергнутся воздействию температуры, а сам микрометр начнут трясти совершенно непредсказуемым образом, кто может знать наверняка, что пруты равны по длине? И что это значит, если скажут, что равны? Текущий научный ответ, что все эти вопросы не могут иметь значения, потому что все эмпирические измерения есть статистические по сути, просто отодвигают к началу вопросов. Чувства, как в научном эксперименте, формируют мнение, размышление, как в математике, формирует знание. В этом и заключается, как отмечал математик-реалист, последователь Платона, разница между мнением и знанием. Вырабатывая свою позицию, реалист критикует интерпретацию типичного опыта.
Экспериментатор А придерживается точки зрения, что шесть дециметров в длине прута, измеренного в соответствии с общепринятыми стандартами, равны 7 с допуском плюс-минус 2. По мнению экспериментатора В, 5 плюс или минус 1 вполне достаточно. Математик-реалист настаивает на том, что ни А, ни В не могут знать ничего о «реальном» размере прута до тех пор, пока каждый продолжает апеллировать к своим чувствам и к своим приборам. Теперь числа, соответствующие длине, что А и В заложили в свои формулы и равенства, также сопровождаемые возможными погрешностями, рассматриваются как неизменные на все время процессов математической дедукции. И пока размышления корректны, утверждает реалист, А и В находятся в сфере знания. Когда же они перестают мыслить
абстрактно и переводят свои выкладки в экспериментальную фазу, они возвращаются обратно в поток простых мнений. Такова приблизительно точка зрения реалиста, и он никогда не перестанет удивляться тому, что, по мнению экспериментаторов, именно они преумножают накопленные знания человечества. Для него единственная часть любой науки, которая имеет право именоваться знанием, – это математика. Так как естествознание как раздвоенная личность находится в вечном конфликте само с собой, математика же, существующая монолитно в окружении разума, самодостаточна и отличается здравомыслием.