Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Чтобы по достоинству оценить булеву алгебру логики, упомянем лишь некоторые из ее идей. Пусть символы xи yозначают классы объектов, например класс собак и класс рыжих животных. Тогда xyозначает класс объектов, принадлежащих одновременно классу xи классу y.Если xи yимеют предложенную нами интерпретацию, то xyозначает класс рыжих собак. Равенство xy = yxверно при любых xи y.Если z— класс белых объектов и если x = y,то zx = zy.Кроме того, из самого смысла «произведения» xyследует,
Символ x + y означает класс объектов, принадлежащих либо классу x, либо классу y, либо классам x и y одновременно.(Это более поздняя модификация логических построений Буля, предложенная Уильямом Стенли Джевонсом (1835-1882). {96} ) Так, если x— класс мужчин, а y— класс избирателей, то x + y— класс мужчин и избирателей (включающий в себя помимо избирателей-мужчин также и избирателей-женщин). Нетрудно доказать, что если, скажем, z— класс людей старше 35 лет, то
96
У самого Буля сумма x + yобозначала класс объектов, принадлежащих либо x,либо y,но не xи yодновременно; сегодня в этом случае говорят не о сумме, а о «симметричной разности» xи yи пишут xy.
z( x+ y) = zx+ zy.
Если x— некоторый класс объектов, то 1 - x(или – x) — множество всех объектов, не принадлежащихклассу x.Так, если 1 — множество всех объектов, x— множество собак, то 1 - x(или – x) — множество всех объектов, не являющихся собаками. Соответственно – (-x)означает множество собак. Равенство
x+ (1 - x) = 1
означает, что все объекты либо относятся к собакам, либо нет. А это есть не что иное, как закон исключенного третьегодля классов. Буль показал, как с помощью таких чисто алгебраических операций проводить рассуждения в самых различных областях.
Буль заложил также основы исчисления высказываний, хотя начало этой области логики восходит к стоикам (IV в. до н.э.). В интерпретации этого исчисления p,например, означает «Джон — человек». Утверждать pозначает утверждать, что высказывание «Джон — человек» истинно. Тогда 1 - p(или – p) означает, что высказывание «Джон — человек» не истинно. Аналогично высказывание – (-p)означает: «Неверно, что Джон не человек», т.е. «Джон — человек». Закон исключенного третьего для высказываний, гласящий, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, Буль записывал в виде p + (-p) = 1,где 1 соответствует истине. Произведение pqистинно, когда истинны оба высказывания pи q, а сумма p + q истинна, если истинно либо p,либо q(либо истинны оба высказывания).
Другое новшество было внесено де Морганом. В своем главном труде «Формальная логика» (1847) де Морган высказал идею о том, что логика должна заниматься изучением отношений в общем виде. Так, аристотелева логика занималась изучением отношения «быть» ( xесть y). Классический пример: «Все люди смертны». Но аристотелева логика, по словам де Моргана, не в состоянии вывести из утверждения «Лошадь — животное» утверждение «Голова лошади — голова животного»: для этого необходимо ввести дополнительную посылку о том, что у всех животных есть головы. В сочинениях
A есть p;
B есть p.
Следовательно, Аи Всуть p.
Действительно, рассуждение
Джон — брат,
Питер — брат;
следовательно, Джон и Питер братья (каждый доводится братом другому)
вполне может привести к неправильному заключению, если понятие «брат» расширить, включив в него и двоюродного брата. Аристотелевой логике не удалось построить логику отношений. На этот ее недостаток обращал внимание еще Лейбниц.
Отношения далеко не всегда удается перевести на язык субъекта и предиката, когда предикат лишь утверждает, что субъект принадлежит к задаваемому предикатом классу. Часто бывает необходимо рассматривать и такие утверждения, как «2 меньше 3» или «Точка Qлежит между точками Pи R». Для подобных высказываний также необходимо определять, что означает их отрицание, т.е. обратное утверждение, сложное высказывание, составленное из нескольких таких высказываний, и т.д.
Логика отношений была развита в серии статей, опубликованных в 1870-1893 гг. Чарлзом Сандерсом Пирсом (1839-1914), и систематизирована Эрнстом Шредером (1841-1902). Пирс ввел специальную символику для обозначения высказываний, выражающих отношения. Так, символ l ijозначает, что iлюбит j. Построенная Пирсом алгебра была сложной и малополезной. Позднее мы увидим, как рассматривает отношения современная математическая логика.
Пирс внес в науку логики еще одно важное дополнение, которое лишь слегка затронул Буль; он подчеркнул важность пропозициональных функций (функций-высказываний). Подобно тому как в математике мы рассматриваем функции, например y = 2x,отличая их от утверждений о конкретных числовых равенствах типа 10 = 2•5, так высказывание «Джон — человек» вполне конкретно, а высказывание « x— человек» означает пропозициональную функцию, зависящую от переменной x.Пропозициональные функции могут зависеть от двух и большего числа переменных: такова, например, функция « xлюбит y». Результаты Пирса позволили распространить логику и на пропозициональные функции.
Пирс ввел в логику и так называемые кванторы.Обычный язык неоднозначен по отношению к кванторам. В двух высказываниях:
Американец возглавлял войну за независимость;
Американец верит в демократию
субъект «американец» используется в двух различных смыслах: в первом высказывании речь идет о вполне конкретном лице — Джордже Вашингтоне, во втором — о любом американце. Обычно неоднозначность можно уменьшить, сославшись на контекст, в котором используется предложение, но в строгом логическом мышлении такая неоднозначность недопустима. Смысл высказывания должен быть ясен без всяких ссылок на контекст. Кванторы позволяют достичь однозначности высказываний. Мы можем утверждать, что какая-то пропозициональная функция истинна для всех индивидуумов из определенного класса, например для всех граждан США. В этом случае высказывание «Для всех x, x— люди» означает «Все граждане США — люди». Слова «для всех x» — квантор. Но мы можем также утверждать: существует по крайней мере один x,такой, что x— человек из США. В этом случае квантор — это слова «существует по крайней мере один x,такой, что». Каждый из этих типов кванторов имеет специальное обозначение: в первом случае