Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Помимо уже описанных количественных трансфинитных чисел, названных кардинальными,Кантор ввел также порядковые трансфинитные (ординальные)числа. Различие между ними достаточно тонко. Если мы рассматриваем, например, множество монет одинакового достоинства, то обычно имеет значение лишь количество монет, но никак не порядок, в котором они расположены. Но если требуется упорядочить студентов по успеваемости, то всегда найдется первый, второй, третий студент и т.д. Если в группе десять студентов, то занимаемые ими места в таком перечне образуют множество от первого до десятого. Это и есть множество ординальных чисел. Хотя в некоторых ранее существовавших цивилизациях и проводилось различие между кардинальными и ординальными числами, количество элементов в упорядоченном множестве из десяти элементов обычно обозначалось тем же символом, что и количество элементов в неупорядоченном множестве из десяти элементов. Так же поступали и в дальнейшем; подобным образом действуем и мы. Действительно, установив, кто занял десятое место, мы тем самым находим, что число людей, которых мы предварительно расставили по ранжиру,
Разработав теорию трансфинитных ординальных чисел, Кантор в 1895 г. понял, что с этими числами также связана определенная трудность, о чем и сообщил Гильберту в том же году. Первым, кто указал на эту трудность в опубликованной (1897) работе, был Чезаре Бурали-Форти (1861-1931). Кантор считал, что множество ординальных чисел можно упорядочить подходящим образом по аналогии с тем, как упорядочены по величине хорошо знакомые всем вещественные числа. Но одна из теорем о трансфинитных ординальных числах утверждает, что ординальное число множества всех ординальных чисел от 1 и вплоть до любого ординального числа (включая и само число ) больше . Например, ординальное число множества ординальных чисел 1, 2, 3, …, равно + 1. А это в свою очередь означает, что множество всехординальных чиселдолжно иметь ординальное число, превышающее самое большое число этого множества. Действительно, заметил Бурали-Форти, даже и к самому большому ординальному числу мы всегда можем прибавить единицу и получить еще большее ординальное число. Возникает противоречие, так как рассматриваемое множество, по предположению, содержит всеординальные числа. Из этого Бурали-Форти заключил, что ординальные числа допускают только частичное упорядочение.
Столкнувшись всего лишь с этими двумя проблемами, большинство математиков, несомненно, могли бы и дальше пребывать в том состоянии безмятежности, которое они обрели в результате пересмотра оснований математики в XIX в. Над вопросом о том, существует ли наибольшее кардинальное и ординальное числа, они предпочитали не задумываться. Ведь не существует же наибольшего целого числа — и никого это никогда не беспокоило!
Тем не менее канторовская теория бесконечных множеств вызвала бурю протестов. Несмотря на то что эта теория нашла, как уже говорилось, применение во многих областях математики, некоторые ученые по-прежнему отказывались принимать актуально бесконечные множества и все, что с ними связано. Леопольд Кронекер, испытывавший к тому же личную антипатию к Кантору, называл того шарлатаном. Анри Пуанкаре называл теорию множеств тяжелой болезнью и считал ее своего рода математической патологией. «Грядущие поколения, — заявил он в 1908 г., — будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились». Даже в 20-х годах XX в. многие математики стремились избегать использования трансфинитных чисел (гл. X). Кантор выступил в защиту своей теории. Он утверждал, что разделяет философию Платона и верит, что в окружающем нас мире идеи существуют независимо от человека. И чтобы осознать реальность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними. Парируя критические замечания философов, Кантор приводил метафизические и даже богословские доводы. {101}
101
Являясь в соответствии с семейной традицией ревностным христианином (лютеранином), Кантор охотно использовал в своих высказываниях религиозные аргументы; но значение соображений такого рода для его научного творчества не было существенным (в литературе оно нередко преувеличивается). Однако с течением времени, когда творческая сила Кантора-математика пошла на убыль, его обращения к теологии стали более частыми.
К счастью, у теории Кантора были не только противники, но и сторонники. Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей XIX в. В 1910 г. Рассел писал: «Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». Расселу вторил Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». В 1926 г. Гильберт так отозвался о трудах Кантора: «Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления».
Причину споров, которые породила теория множеств, очень тонко и точно охарактеризовал Феликс Хаусдорф в «Основаниях теории множеств» (1914). {102} Теорию множеств он метко назвал «областью, где ничто не является очевидным, где истинные утверждения нередко звучат парадоксально, а правдоподобные зачастую оказываются ложными».
Большинство математиков были обеспокоены вытекавшими из теории Кантора следствиями по совершенно иной причине, нежели приемлемость или неприемлемость бесконечных множеств различной мощности. Противоречия, вскрытые Кантором при попытке сопоставить (трансфинитное) число множеству всех множеств и множеству всех ординальных чисел, заставили математиков осознать, что они используют аналогичные понятия не только
102
Автор первого в мировой литературе учебника теории множеств Феликс Хаусдорф (1868-1942) долгие годы был одним из признанных лидеров берлинской математической школы. Его учебник по теории множеств имел два варианта, настолько резко различающиеся между собой, что их вполне можно считать самостоятельными книгами: «Основы теории множеств» ( Grundz"uge der Mengenlehre.Leipzig, Teubner, 1914) и «Теория множеств» ( Mengenlehre.Leipzig, Teubner, 1927). Совершенно самостоятельным произведением мировой математической литературы является русский вариант той же книги [54], в которой редакторы П.С. Александров и А.Н. Колмогоров предприняли (весьма удачную) попытку совместить все достоинства и первого и второго вариантов книги Хаусдорфа, одновременно доработав отдельные части книги, с тем чтобы привести их в соответствие с новейшими достижениями науки. При этом устаревшие разделы «Основ теории множеств» были заменены новым текстом, заимствованным из написанных П.С. Александровым разделов книги [55], которые пришлось несколько переработать, с тем чтобы сохранить стиль Хаусдорфа.
Приведем некоторые из парадоксов. Нематематическим примером парадоксов теории множеств может служить высказывание «Из всех правил имеются исключения». Само это высказывание является правилом. Следовательно, для него можно найти по крайней мере одно исключение. Но это означает, что существует правило, не имеющее ни одного исключения. Такого рода высказывания содержат ссылку на самих себя и отрицают самих себя.
Наибольшей известностью из нематематических парадоксов пользуется так называемый парадокс лжеца.Его разбирали Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. В классическом варианте парадокса лжеца речь идет о высказывании «Это утверждение ложно». Обозначим предложение, стоящее в кавычках, через S. Если Sистинно, то истинно то, что оно утверждает. Следовательно, Sложно. Если Sложно, то ложно то, что оно утверждает. Следовательно, Sистинно.
Парадокс лжеца существует во многих вариантах. Например, комментируя какое-то свое высказывание, человек может заметить: «Все, что я говорю, — ложь». Является ли высказывание «Все, что я говорю, — ложь» истинным или ложным? Если человек действительно лжет, то, утверждая, что он лжет, он говорит правду, а если человек говорит правду, то, утверждая, что он лжет, он действительно лжет. В некоторых вариантах парадокса лжеца ссылка на себя менее очевидна. Так, два высказывания: «Следующее за этим утверждение ложно», «предыдущее утверждение истинно» — содержат противоречие, так как если второе утверждение истинно, то тогда заведомо ложно первое утверждение, сообщающее нам о том, что второе утверждение ложно. Если же второе утверждение, как и говорится в первом утверждении, ложно, то значит, первое утверждение ложно и, следовательно, второе утверждение должно быть истинным.
Курту Гёделю (1906-1978), величайшему логику XX в., принадлежит несколько иной вариант парадокса с противоречивыми высказываниями, 4 мая 1934 г. Aпроизносит единственную фразу: «Любое высказывание, которое Aсделает 4 мая 1934 г., ложно». Это высказывание не может быть истинным, так как утверждает о самом себе, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, так как, для того чтобы оно было ложным, Aдолжен был бы высказать 4 мая 1934 г. хоть одну истину, — а Aсказал в этот день лишь одну фразу.
Первые математические противоречия, чреватые серьезными неприятностями, обнаружил Бертран Рассел и сообщил о них Готлобу Фреге в 1902 г. Фреге в то время занимался подготовкой к печати второго тома «Основных законов арифметики», в котором изложил новый подход к обоснованию числовой системы. (Подробнее о развитом Фреге подходе мы расскажем в следующей главе.) Свой подход Фреге в значительной мере основывал на теории множеств, или классов, — той самой теории, где Рассел обнаружил противоречие, о котором сообщил в письме Фреге и поведал математическому миру в книге «Принципы математики» (1903). Рассел занимался изучением парадокса Кантора о множестве всех множеств — и предложил свой вариант этого парадокса.
Парадокс Рассела относится к классам. Класс книг не является книгой и поэтому не содержит самого себя, но класс идей есть идея и содержит сам себя. Каталог каталогов — каталог. Следовательно, одни классы содержат (или включают) самих себя, другие не содержат. Пусть N— класс классов, не содержащих самих себя. К какой разновидности классов принадлежит N? Если Nпринадлежит N,то, по определению, Nне должен принадлежать N.Если же Nне принадлежит N,то по определению Nдолжен принадлежать N.Когда Рассел впервые открыл это противоречие, он решил, что трудность здесь кроется в логике, а не в самой математике. Но обнаруженное противоречие ставит под удар само понятие множества, или классаобъектов, широко используемое во всей математике. По словам Гильберта, парадокс Рассела был воспринят математическим миром как катастрофа.