Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины r, расположенного вдоль параллели.
Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «север — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен (/2) — . Если мы будем считать, что |NA'| очень велико по сравнению с r' (изначально мы приняли размеры диска D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи параллельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок А'С, а отрезок В'С параллелен NA'. Угол А'СВ', равно как и угол А'В'С, равен — (/2) — . Следовательно,
Это указывает, что стереографическая проекция является изогональной, то есть сохраняет величины углов.
Второй этап построения стереографической проекции.
В 1695 году английский математик и астроном Эдмунд Галлей (1656–1742) опубликовал первое доказательство конформности стереографической проекции.
Как мы уже указывали, конформные проекции сохраняют формы лишь на небольших участках, но не на всей карте. Форма границы страны или русла реки на карте определяется изменением направления, в котором мы проводим изображаемую линию. Если говорить математическим языком, их очертания определяет изменение касательного вектора рассматриваемой кривой. По этой причине сохранение величин углов обеспечивает локальное сохранение форм. Наглядным примером станет Гренландия, реальные очертания которой очень отличаются от изображения в проекции Меркатора. Однако если мы рассмотрим небольшие участки на побережье Гренландии, различия будут незначительными.
Задача изображения сетки меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной стереографической проекции, сводится к расчету расстояния от центра, на котором должны располагаться окружности, соответствующие параллелям, поскольку в азимутальных проекциях меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми, проходящими через центр карты. Так, радиус окружности — проекции параллели, расположенной на широте , — равен
где R — радиус сферической модели Земли. Чтобы рассчитать это расстояние, нужно воспользоваться определением тангенса угла SNA (см. рисунок на стр. 109).
С древних времен до наших дней стереографическая проекция используется при составлении карт звездного неба. Полярная стереографическая проекция использовалась исключительно в этих целях со времен Древней Греции до, возможно, 1507 года, когда она впервые была применена при составлении карты Земли. Как отмечает Джон Снайдер в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth), эту карту изготовил Вальтер Людд из Сан-Дье. Первые печатные карты звездного неба, созданные с помощью полярной стереографической проекции, принадлежат знаменитому немецкому художнику Альбрехту Дюреру (1471–1528): в 1515 году он создал карту Северного полушария небесной сферы Imagines coeli septentrionales cum duodecim imaginibus zodiaci («Изображение северного звездного неба с двенадцатью зодиакальными созвездиями») и карту Южного полушария небесной сферы Imagines coeli meridionales («Изображение южного звездного неба»). Центры проекций этих карт располагались в Северном и Южном полюсах эклиптики соответственно. За ними последовали многие другие, например карты полушарий небесной сферы, выполненные Галлеем примерно в 1678 году, или опубликованная в «Бюллетене Французской академии наук» в 1756 году «Карта мира, содержащая небесные созвездия» (Planisphere contenant les constellations celestes) французского астронома Никола Луи де Лакайля (1713–1762), на которой изображены звезды, видимые в Южном полушарии. Карта Лакайля была включена в знаменитый атлас звездного неба Флемстида 1776 года.
Многие другие карты звездного неба в полярной стереографической проекции были созданы в золотой век небесной картографии великими астрономами, картографами и математиками: Иоганном Доппельмайером, Пьером Шарлем Ле Моннье, Жаном Домиником Кассини и многими другими.
Карта звездного неба Альбрехта Дюрера «Изображение северного звездного неба», на которой изображено Северное полушарие небесной сферы.
Полярная стереографическая проекция начала использоваться для составления карт Земли в начале XVI века. Немецкий гуманист Грегор Рейш (ок. 1470–1525) использовал ее в своей энциклопедии «Жемчужина философии» (1512) при составлении
Вслед за этими картами были созданы многие другие похожие карты двух полушарий, а также разработаны карты, на которых полушария изображались совместно, например «Карта магнитных меридианов и параллелей» (Karte Der Magnetischen Meridiane und Parallel-Kreise) и другие, включенные в «Физический атлас» (Physikalischer Atlas, 1848) немецкого картографа Генриха Бергхауза (1797–1884). Эти карты использовались в качестве иллюстраций к труду «Космос, или Физическое мироописание» немецкого натуралиста и путешественника Александра фон Гумбольдта (1769–1859).
«Карта магнитных меридианов и параллелей», на которой изображены два полушария в стереографической проекции, составленная немецким географом Генрихом Бергхаузом.
* * *
КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Звезды на небе располагаются равномерно, и когда мы смотрим на них ночью, то кажется, что они закреплены на огромной сфере, заключающей в себе наш мир. Причина в том, что звезды находятся очень далеко от нас. Идеальная сфера неопределенного радиуса, центр которой совпадает с центром Земли и на которой, как нам кажется, находятся звезды, называется небесной сферой.
Существует две системы небесных координат, аналогичных земным, с небесным экватором, Северным и Южным полюсами мира, небесными меридианами и параллелями и углами, определяющими положение каждой звезды на небосводе подобно широте и долготе. Первая система небесных координат, которая чаще применялась в Античности, — это эклиптическая система. В ней за основу взята плоскость эклиптики — плоскость вращения Земли вокруг Солнца, которая играет роль небесного экватора. В основе второй, более современной системы координат, находится земной экватор. Зенит — это наивысшая точка небесной сферы над головой наблюдателя, надир — точка, диаметрально противоположная зениту.
Небесную сферу, для которой известны положения звезд и созвездий в этих координатах, можно спроецировать на плоскую поверхность и получить карту звездного неба подобно тому, как строятся карты Земли. При создании карт звездного неба применяются те же проекции, что и при составлении карт Земли. Однако в картах звездного неба чаще всего используются гномоническая, стереографическая и равнопромежуточная проекции. С их помощью можно создать карты, центром которых будет зенит, так как в этих проекциях искажения вокруг центра одинаковы. Кроме того, с помощью этих азимутальных проекций проще определить направление, вдоль которого следует смотреть, чтобы увидеть определенную звезду. Подходящая проекция выбирается в зависимости оттого, чего мы хотим: чтобы звезды, находящиеся на одном большом круге, были изображены на одной прямой; чтобы карта сохраняла углы; чтобы искажения были не слишком велики.
Карта участка небесной сферы вблизи Южного полюса мира, составленная Никола Луи де Лакайлем, приведенная в четвертом издании атласа звездного неба Флемстида.
* * *
Полярная стереографическая проекция достаточно часто используется при составлении карт приполярных территорий, так как если не рассматривать участки, далекие от центра проекции, общие искажения очень малы. Эту проекцию часто используют при составлении карт Антарктиды и территорий, лежащих за Северным полярным кругом, Геологическая служба США и многие другие международные агентства, например Центр изучения снега и льда (The National Snow and Ice Data Center) и Национальное управление океанических и атмосферных исследований США (National Oceanic and Atmospheric Administration). Применяется она и в случае, когда необходимо использовать конформную проекцию, например при составлении метеорологических карт, карт ветров Антарктиды и других.
Эта проекция лежит в основе системы координат UPS (универсальной полярной системы координат), которая вместе с системой UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) представляет собой систему координат, или проекций, для изображения всей земной поверхности. Система определяет ряд зон среднего размера, которые можно изобразить в выбранной проекции с очень малыми искажениями. Благодаря этому систему UPS использует большинство картографических служб мира при составлении карт определенных размеров. Мы вернемся к этой системе координат в главе 9, посвященной проекции Меркатора.