Механика от античности до наших дней

Григорьян Ашот Тигранович

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знаменитых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практических запросов их применения в оптических приборах. В третьем добавлении к этому труду ученый на основании сложных математических вычислений предсказал существование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухосных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огромный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике

так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и названная им «действием», должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М.В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона — Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики (функция Гамильтона Н) оказалась при довольно широких условиях совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями, но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби и М.В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX в. Поначалу казалось, что ее главное значение в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытие возможности нового геометрического истолкования механических проблем имели принципиальное значение. Во второй половине XIX в. накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике, именно на созданной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

Английский математик и механик. Гамильтон внес

большой вклад в развитие вариационных принципов механики. Построил систему комплексных чисел, так называемых кватернионов 

Труды Гамильтона по механике получили высокую оценку. В 1842 г. па ежегодном собрании Британской ассоциации в Манчестере К. Якоби сказал: «Гамильтон — это Лагранж вашей страны». В 1866 г. Тэт охарактеризовал работу Гамильтона по динамике как «крупнейшее дополнение, полученное теоретической динамикой с тех пор, как были достигнуты великие успехи Ньютоном и Лагранжем». В 1835 г. Гамильтон был награжден золотой медалью Английского королевского общества.

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и технических науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление закона умножения кватернионов, который он нашел много времени спустя после того, как разработал правила их сложения и вычитания.

Гамильтон с большой глубиной и подробностью разработал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он посвятил почти целиком последние 22 года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием «Лекции о кватернионах».

Историческая роль этой работы велика: во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного исчисления; во-вторых, теория кватернионов Гамильтона является одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умножения. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике.

ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университетах. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 г. действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был избран членом многих зарубежных академий наук. Русские ученые одними из первых оценили огромное значение его исследований по математике и механике и уже в 1830 г. избрали его членом- корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук. Следует отметить, что Карл Якоби живейшим образом интересовался деятельностью Петербургской академии наук. Укреплению связей К.Г. Якоби с русскими научными кругами, в частности с М.В. Остроградским, благоприятствовал личный момент: его брат Мориц, крупный физик (известный в России как Борис Семенович Якоби), был русским академиком (с 1837 г.). К.Г. Якоби — один из создателей теории эллиптических функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональные определители, которые часто называют в его честь якобианами. Основной труд Якоби по механике — его замечательные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.