Млечный Путь, 2012 № 03 (3)
Шрифт:
Ахиллес и черепаха бегут по прямой беговой дорожке. В начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. Ахиллес догоняет черепаху с конечной скоростью, поэтому для перемещения в позицию, которую занимала убегающая от него черепаха, ему требуется ненулевой промежуток времени. Но за этот промежуток времени движущаяся черепаха неизбежно сдвинется на ненулевой интервал пути, и займет новую позицию, и т. д. Упомянутый промежуток времени (и, следовательно, интервал между Ахиллесом и черепахой) будет равен нулю в единственном случае — при бесконечно большой скорости Ахиллеса. Но это невозможно. Поэтому расстояние между бегущим Ахиллесом и ползущей черепахой всегда будет ненулевым, даже если скорость Ахиллеса значительно больше скорости черепахи.
Это утверждение
Однако вопреки порождаемому ею парадоксу, в наблюдаемом мире непрерывное механическое движение все-таки существует. Это хорошо отражено в студенческом анекдоте: «Ахиллес был учеником Зенона и твердо знал, что стрела никогда не достигает своей цели. Это и подвело его во время Троянской войны».
Желание спасти классические представления о движении породили самые разные схемы «опровержения» парадокса. Одно из самых популярных «опровержений» заключается в дополнении утверждения Зенона, которое мы сформулировали выше, утверждением: «Чтобы Ахиллес догнал черепаху, он должен сделать бесконечное число шагов за конечное время». Сходящаяся бесконечная последовательность уменьшающихся временных и пространственных интервалов образует в сумме конечные величины, а формирующийся на каждом шаге интервал — расстояние между Ахиллесом и черепахой — в пределе имеет нулевое значение. Подменяя интервал между бегунами его нулевым пределом, делается вывод, что таким образом Ахиллес настигает черепаху.
Однако на самом деле такая подмена неправомерна. Необходимость бесконечного числа шагов никак не следует из утверждения Зенона, поэтому связывать его с утверждением Зенона нет никаких оснований. Логика Зенона, не допускающая существования нулевого члена в последовательности уменьшающихся интервалов (расстояний между бегунами), остается непоколебленной в результате этих рассуждений.
В ситуации с парадоксом Зенона использование бесконечностей недопустимо, так как сближение Зенона и черепахи является физическим (а не математическим) процессом. Проиллюстируем эту ситуацию следующим примером. Допустим, что некий солидный банк в рекламных целях установил вознаграждение Ахиллесу за то, что он догонит черепаху. Сумма вознаграждения будет определяться в зависимости от числа шагов Ахиллеса, которые формируются по схеме Зенона. Возникает вопрос — получит ли Ахиллес свое вознаграждение? Действительно, чтобы получить деньги, Ахиллес должен представить в Банк счет с точным расчетом требуемой суммы. При этом Ахиллес должен будет указать число шагов, при котором расстояние между ним и черепахой в точности стало равным нулю. В этом и состоит хитрость банковских менеджеров, имевших в виду «и невинность соблюсти и капитал приобрести». Ахиллес никогда не сможет выполнить банковские условия, потому что, какое бы число шагов он ни указал, ему всегда будет соответствовать пусть очень маленькое, но ненулевое расстояние между ним и черепахой, и условие банка не будет выполнено. Если же Ахиллес, чтобы выкрутиться из этой ситуации, использует логику «опровержения», допускающую подмену интервала между Ахиллесом и черепахой его нулевым пределом, то вряд ли найдется банк, который согласится принять к оплате такой странный счет. И в бухгалтерии, и в физике не допускается использование в расчетах измеримых величин, принимающих бесконечно большие значения, с заменой реально измеримых величин их пределами.
Когда мы рассматриваем последовательность Зенона как описание физического процесса, то расстояние
Черепахе стало жалко Ахиллеса и она остановилась. Только тогда измученный и постаревший Ахиллес смог догнать ее и наконец отдохнуть. Рисунок с сайта: http://jupiters.narod.ru/dinamic5_paradox.htm
Допустим, что парадокс Зенона неверен. Тогда в конце движения должен существовать хотя бы один интервал, на котором Ахиллес во время движения не пробегал бы точки, которые занимала ранее черепаха. Но поскольку по условию они бегут по одной прямой, это невозможно. Поэтому парадокс Зенона выполняется в любом случае, независимо от способа разбиения их пути на участки. Другими словами, не существует завершающего участка в конце движения (определяемого законами классической механики), на котором Ахиллес и черепаха дружно бы «перескочили» в одну и ту же точку встречи, минуя логику Зенона. И никакими математическими ухищрениями этот факт опровергнуть невозможно (этот вывод верен с точностью до аддитивности интервалов движения).
Итак, опровержения парадокса Зенона, основанные на подмене интервалов движения их пределом, не доказывают, что расстояние между бегунами сократится в точности до нуля. И тем более они не приводят к доказательству возможности того, что Ахиллес обгонит черепаху. Крупнейший математик ХХ века Давид Гильберт после тщательного анализа проблематики парадокса Зенона в фундаментальной монографии «Основания математики» отмечал: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится, и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако эти рассуждения абсолютно не затрагивают один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некоторая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться».
Поскольку удовлетворительного опровержения парадокса Зенона найти не удалось, остается полагать, что он отражает некие фундаментальные проблемы в самом понятии движения в классической механике. Реальное решение парадокса Зенона в начале ХХ века было предложено Гильбертом и заключается не в попытке его «опровержения», а в четком определении области его применимости, за пределами которой он теряет силу. Именно ограниченность области его применения и открывает возможность для реального движения физических тел в окружающем нас мире.
Д. Гильберт (1862–1943) О нем см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Гильберт,_Давид
Д. Гильберт в упомянутой монографии отметил, что «радикальное решение парадокса» связано с тем, что при неограниченном дроблении движения возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение, подобно тому, как при неограниченном дроблении воды мы получим нечто, что уже не может быть охарактеризовано как вода. Имеется в виду движение в классическом его понимании.
Так что же это за «нечто», обнаруженное Зеноном Элейским две с половиной тысячи лет назад, не являющееся обычным классическим движением, но обладающее свойством открывать возможности тел к движению?
К концу XIX века классическая механика практически полностью сформировалась и возникла иллюзия завершенности физической науки, прекрасной в своей целостности и всеобщности. Некоторые «шероховатости», вроде проблем с эфиром и апориями Зенона, либо игнорировались, либо ждали своих экспериментальных уточнений. Однако эти уточнения вместо того, чтобы подтвердить торжество классической теории, неожиданно породили релятивистскую механику, которая перевернула представления о пространстве и времени и значительно ограничила сферу господства классических воззрений.