Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M
Шрифт:
412
ЛОГИКА В РОССИИ севича (В. А. Смирнов). Мощный импульс активной разработке проблем силлогистики в нашей стране придало проведенное в 1982 в Ленинграде Всероссийское координационное совещание, на котором была определена программа и сформулированы направления исследований в этой области на перспективу. В России сложилась научная школа по силлогистике, идейным вдохновителем которой был В. А. Смирнов. Представителями данной школы получен ряд результатов, позволяющих вписать силлогистику в контекст современной логики. Осуществлена формальная реконструкция неаристотелевских силлогистик — фундаментальной силлогистики Брентано—Лейбница, силлогистического фрагмента логики Больцано, силлогистик Льюиса Кэрролла иН.А. Васильева (В. И. Маркин, Н. Г. Колесников, В. А. Смирнов, К. И. Бахти- яров). Доказана погружаемость различных систем силлогистики в классическое исчисление предикатов (В. А. Смирнов, В. И. Маркин). Установлены метатеоретические взаимосвязи силлогистических теорий с булевой и квазибулевой алгебрами (В. А. Бочаров, В. М. Попов), а также с элементарной онтологией С. Лесьневского (В. А Смирнов, В. А. Бочаров). Предложены различные подходы к семантической и синтаксической реконструкции аподиктического фрагмента модальной силлогистики Аристотеля (Е. К. Войшвилло, В. А. Смирнов, В. И. Маркин). Построены системы сингулярной и негативной силлогистик, эксплицирующие различные способы введения в силлогистический язык единичных и отрицательных терминов (В. И. Маркин, В. А. Бочаров, В. М. Попов). В 1984 появляется монография В. А. Бочарова, а в 1991 — В. И. Маркина. Исследования российских ученых по силлогистике осуществлялись в тесном взаимодействии с грузинскими логиками (М. И. Бежанишвили, Л. И. Мчедлишвили и др.), получившими в данной области ряд важных результатов.
ЛОГИКА И МЕТОДОЛОГИЯНАУК. Эта тема широко разрабатывалась логиками, философами и методологами науки, включая и логические аспекты исследований, т. е. применение современной логики для обсуждения и решения тех или иных методологических и философских проблем. Нередко под прикрытием критики логического позитивизма (см. обзорную статью по логике В. А. Бочарова, Е. К. Войшвилло, А. Г. Драгалина и В. А. Смирнова в журнале «ВФ», 1979, № 6) удавалось отвоевывать как само поле деятельности для логиков-философов и методологов, так и «запрещенную» проблематику, и получать при этом оригинальные результаты. Это был вынужденный компромисс с официальной идеологией. В 30-е гг. С. А. Яновская и В. Ф. Асмус начинают исследовать логико-методологические и философские проблемы оснований математики. Появляются работы Яновской о роли абстракций и идеализации в познании и о способах введения понятий. Ю. А. Петров под руководством Яновской публикует монографию (1967), в которой анализируются проблемы абстракции бесконечности и осуществимости. Современную теорию понятия, привлекая средства символической логики, создает Е. К. Войшвилло (1967,1989). Вопросам абстракции и образования понятий посвящена книга Д. П. Горского (1962); им же исследована специфика определений в различных теориях (1974). В свою очередь M. M. Новоселов вводит методологически важное понятие интервала абстракции и на его основе ряд таких понятий, как абстракция постоянства, абстракция индивидуации. абстракция неразличимости и др., сопровождая введение этих понятий их алгебро-логическим анализом; в частности, он формулирует аксиоматику для отношения тождества с мерой транзитивности (1978), законы композиции для отношения неразличимости (1984)
Я ЯБродский (1973). В работах А. А. Старченко, Ю. В. Ивлева, А. А. Ивина, И. Ю. Алексеевой, В. Б. Родоса и др. активно развивалась теория аргументации. В последнее время новый подход к теории понятия и аргументации разрабатывается В. К. Финном. Проблемы аксиоматического метода рассматриваются в работах А. С. Есенина-Вольпина и В. Н. Садовского. Философские основания логических систем и самой логики исследовались Е. Д. Смирновой. Отчасти сюда же относятся работы Е. Е. Ледникова, В. Н. Брюшинкина, Г. В. Сориной. В коллективных работах «Проблемы логики научного познания» (1964) и «Логика научного исследования» (1964) была сформулирована программа разработки логики и методологии научного познания. Ряд интересных работ помещен уже в сб. «Логика и методология науки» (1967). К этой же тематике примыкает монография Б. В. Бирюкова «Кибернетика и методология науки» (1974), в которой, в частности, анализируются основные черты логической формализации и предлагается основанная на логике экспликация феномена понимания. Ряд авторов (Л. Б. Баженов, Б. С. Грязнов, А. А. Зиновьев, В. Н. Карпович, С. А. Лебедев, Е. Е. Ледников, Ю. A. Петров, Г. И. Рузавин, В. Н. Садовский, К. Ф. Самохвалов, B. А. Смирнов, В. С. Швырёв, Э. Г. Юдин и др.) детально разрабатывают различные вопросы методологии дедуктивных и эмпирических наук. Методология искусственного интеллекта развивалась в работах Д. А. Поспелова и В. К. Финна. Ключевым понятием методологии наук, позволяющим использовать хорошо разработанную логическую техник)', является понятие научной теории. Важные результаты здесь были получены В. А. Смирновым в монографии «Логические методы анализа научного знания» (1987), которая была опубликована после продолжительной борьбы Смирнова с методологами, выступившими против «засилья» формальной логики. На основе фундаментальных результатов, полученных им в теории определимости, Смирнов вводит в научный оборот новые понятия об отношениях между теориями (дефини- циальная погружаемость, дефинициальная эквивалентность, рекурсивная переводимость и др.), позволившие сравнивать теории с разной категориальной структурой. Этот понятийный аппарат был использован Смирновым для установления взаимосвязей между рядом теорий, напр., для погружаемости элементарной онтологии Лесьневского в одноместное второ- порядковое исчисление предикатов. Отметим, наконец, своеобразное решение вопроса о соотношении формальной логики и философии. В силу сугубо специфических условий развития философского знания в России после высылки в 1921 лучших философов за границу логики это соотношение решили в свою пользу, привлекая самый современный логический аппарат для обсуждения, анализа, реконструкции и решения различных философских и логико-философских проблем. В этом смысле показательны коллективные сб. «Философские вопросы современной формальной логики» (1962; отв. ред. П. В. Таванец), «Философия и логика» (1974; отв. ред. П. В. Таванец и В. А. Смир-
413
ЛОГИКА В РОССИИ нов) и монография А. С. Карпенко «Фатализм и случайность будущего. Логический анализ» (1990). И если в первой еще делались реверансы в сторону диалектической логики и критиковался неопозитивизм, то во второй вообще обошлись без всего этого. (См. также ст. Философская логика).
ОСНОВНЫЕЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЕ ЦЕНТРЫ. Различные логические центры возникали в разных городах бывшего СССР. Очень сильная группа логиков (математиков и философов) сложилась в Тбилиси. В Киеве под руководством М. В. Поповича интенсивно исследовалась логико-методологическая проблематика. В Кишиневе, после переезда туда из Москвы А. В. Кузнецова, также сложилась активно работающая группа логиков. Различные Всесоюзные конференции по логике проводились, конечно, не только в России. Но главным центром подготовки профессиональных кадров в области логики является кафедра логики философского факультета МГУ. Была создана уникальная система специализации по логике. Большое внимание уделялось профилизации лекционных курсов применительно к специфике разных специальностей. Преподавателями кафедры были разработаны оригинальные спецкурсы: «Логика научного познания» Е. К. Войшвилло, «Квази-функциональная логика» Ю. В. Ивлевым, «Логическая семантика» Е. Д. Смирновой и многие др. Особое место в структуре специализации занимали спецкурсы В. А. Смирнова, который знакомил студентов с самыми современными направлениями исследований в мировой логической науке. Начиная с 80-х гг. вышло в свет 15 монографий, написанных преподавателями кафедры, большое количество учебников (многие из них выдержали несколько изданий) и учебных пособий. Преподавание логики на философском факультете Санкт-Петербургского (в то время Ленинградского) университета началось с сентября 1944. При кафедре начинал свой курс по математической логике А. А. Марков, потом его сменил Н. А. Шанин. С кон. 50-х — нач. 60-х гг. на факультете кроме традиционной логики преподается символическая логика. Первыми преподавателями ее из состава членов кафедры были И. Н. Бродский и О. Ф. Серебрянников. Главным педагогическим достижением кафедры логики было издание в 1977 учебника для философских факультетов «Формальная логика» в двух частях. С1990 кафедра регулярно (раз в два года) организует и проводит научные конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». Сектор логики Института философии РАН всегда оставался ведущим центром научно-исследовательских работ по философской и формальной логике. Начиная с 1959 им подготовлено и выпущено в издательстве «Наука» более 20 коллективных трудов. Большой размах приобрели исследования в области неклассических логик, где был получен целый ряд интересных результатов. Научно-исследовательский семинар по логике, четверть века руководимый В. А. Смирновым, приобрел широкую известность и на нем делали доклады многие зарубежные ученые. В 1990 им был создан Институт логики, ког- нитологии и развития личности (ИЛКиРЛ). Институт ведет исследовательскую и пропагандистскую работу в области логики, принимает активное участие в проведении Российских и Международных конференций по логике. Издается литература, соответствующая профилю Института, а также электронный журнал «Логические исследования» (отв. ред. А. С. Карпенко): http://www.logic.ru/Russian/LogStud.
ЛОГИЧЕСКИЕИЗДАНИЯ. Относительно периодических изданий по логике в России сложилась ситуация, не имеющая аналогов в развитых (цивилизованных) странах, и приходится констатировать, что Россия по сей день не имеет своего логического журнала. С 1959 выходит серия «Математическая логика и основания математики». С 1962 начал выходить журнал «Алгебра и логика» (Новосибирск), где в основном публикуются работы по математике. С 1975 выходит серия «Логика и методология науки» (в основном переводы). С 1982 начали выходить труды научно-исследовательского семинара по логике, а с 1993 — ежегодник (по возможности) «Логические исследования». Заслуга в появлении последних двух изданий принадлежит В. А. Смирнову, которому пришлось для этого преодолеть немалые трудности; он же и являлся первым их ответственным редактором. Кончается XX век, страшный для России, с ее неисчислимыми жертвами и потерями. Но величие Логики как гуманитарной науки в том и состоит, что она стала спасительным прибежищем для человеческого духа. Лит.: Бажанов В. А. Прерванный полет. История «университетской» философии и логики в России. М, 1995; Башмакова И. Г., Демидов C. С, Успенский В. А. Жажда ясности.— «Вопросы истории естествознания и техники», 1996, вып. 4 (к 100-летию со дня рождения С. А. Яновской): Бирюков Б. В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. М., 1985; Бочаров В. А., Войшвилло Е. К, Драгалин А. Г., Смирнов В. А. Некоторые проблемы развития логики.— «ВФ», 1979, № 6; Брюшинкин В. Н. Исследования по формальной логике (обзор советской литературы последних лет). — Там же, 1983, № 6; Избр. труды русских логиков XIX в. М, 1956; Карпенко А. С Логика в России. Вторая половина 20 в.— «ВФ», 1999, № 9; Кондаков Н. И. Из истории формальной логики в России в 50—80-х годах XIX века.— В кн.: Вопросы теории познания и логики. М., 1960; Моисеев В. Логика в России и СССР— В кн.: Русская философия. Малый энциклопедический словарь. М., 1995; Нагорный H. М. Андрей Андреевич Марков (к 90-летию со дня рождения).— «Известия РАН. Техника. Кибернетика», 1993, № 5; Очерки по истории логики в России. М., 1962; Примаковский А. П. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в XVIII— XX вв. М., 1955; Развитие логических идей в России,— В кн.: История философии в СССР, т. 3. М, 1968; Результаты В. А. Смирнова в области современной формальной логики (общая редакция А. С. Карпенко).— В кн.: Логические исследования, вып. 4. М, 1997; Семиотика и информатика, 1993, вып. 33 (посвящается памяти Дмитрия Анатольевича Бочвара); СилаковА. В., Стяжкин Н. И. Краткий очерк истории общей и математической логики в России. М., 1962; Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М., 1967; Есенин-Вольпин С А. Избранное. М., 1999; Шуринов Б. М., Бирюков П. Б. Российская логическая наука на переломе начала XX века: идеи А. И. Введенского и Н. О. Лосского.— Вестник Международного Славянского Университета, 1996, т. 1; Они же. Из истории логики отношений: вклад русской философии конца XIX века (Каринский и Рутковский).— Там же, 1997, т. 2; Яновская С. А. Основания математики и математическая логика.— Математика в СССРзаЗОлет. М., 1947; Онаже. Математическая логика и основания математики.— Математика в СССР за 40 лет, т. 1. М., 1959, § 13; Anellis I. H. Formal Logic and dialectical-materialism in the Soviet Union.— Modern Logic, 1994, № 4; Bochenski J. M. Soviet Logic — Studies in Soviet Thought, 1961, vol. 1, № 1 ; Cavaliere F. La logica formale in Unione Sovietica: Gli anni del dibattito, 1946-1965, Firenze, 1990; Mathias A. H. D. Logic and Terror- Jahrbuch 1990 der Kurt-Godel-Gesellschaft, 1991; Mints G. Proof theory in the USSR (1925-1969).- The Journal of Symbolic Logic, 1991, vol. 56, № 2; Pennino L. La logica simbolica nella produzione scientifica in lingua russa (1961 —1983). Roma—Napoli, 1990; Tikhomirov V. M. The life and work of Andreii Nikolaevich Kolmogorov.— «Russian Math. Surveys», 1988, vol. 43, № 6; Uspensky V. A. Mathematical Logic in the former Soviet Union: Brief history and curent tvends.— Logic and Scientific Methods. Dordrecht, 1997. А. С. Карпенко
414
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЯ
ЛОГИКА ВОПРОСОВ— формальные средства описания отношения «вопрос — ответ». Формальные средства имитации вопросов называют интеррогативами. Примерами ин- террогативов являются ли-вопросы («верно ли высказывание Л?»), какой-вопросы («каковы все те х, которые удовлетворяют условию Р(х)?»), сколько-вопросы («сколько х таких, что o(x)?») и почему-вопросы («почему химическое соединение х обладает наркотическим действием?»). Существует два подхода к построению логической теории вопросов, которые можно назвать лингвистическими и компьютерными. Согласно первому подходу, материалом для построения формальных имитаций вопросов служат реально существующие вопросы естественного языка. В рамках этого подхода строится перевод вопроса некоторого типа в соответствующий ему интеррогатив. Такой перевод существует, если для этого вопроса может быть точно описан ответ, т. е. если определимо отношение «вопрос — ответ». Согласно второму подходу, исходным материалом для формализации вопроса является формальный язык, используемый в информационных системах, ориентированный на решение некоторой совокупности информационно-поисковых задач. Каждой такой задаче соответствует предписание, в котором содержится императив — требование ее решения (напр.: «найти все химические соединения, обладающие наркотическим действием», «найти все статьи по заданной теме», «найти все, что известно о данном понятии» и т. д.). Формализация вопросов в информационном языке осуществляется на базе пробле мно-ориентированной семантики. Это означает, что каждому типу вопросов соответствует специальное вопросно-ответное отношение. Вопрос (в рамках такого подхода) понимается как запрос или требование информации определенного типа (такое понимание вопроса близко к тому, что предложил Я. Хинтикка). В интеллектуальных системах, содержащих подсистему объяснения, реализуется отношение «вопрос — ответ» для вопросов типа «почему?». В частности, процедура поиска ответа на вопрос «почему?» может содержать средства порождения гипотез о причинах рассматриваемых явлений, которые извлекаются из баз данных посредством индукции, а принимаются эти гипотезы посредством абдукции. Это означает, что вопросно-ответное отношение определяется с помощью синтеза познавательных процедур (см. Индуктивная логика). В теории вопросов Н. Белнапа и Т. Стила, относящейся к теориям вопросов лингвистического типа, строится семантика и грамматика вопросов. Под грамматикой вопросов они понимают способы правильного построения интеррогативов. Центральным понятием их теории является понятие прямого ответа, которое характеризуется тремя аспектами — выбором, требованием полноты и требованием различения. Выбор состоит из тех альтернатив, которые извлекаются из множества всех предоставляемых вопросом альтернатив и указываются в ответе. Требование полноты ответа заключается в установлении степени полноты его выбора, измеряемой по отношению ко всему множеству истинных альтернатив. Требование различения — это требование, согласно которому различные именные альтернативы должны обозначать различные реальные альтернативы. В этой теории субъектом вопроса называется множество всех возможных альтернатив. Каждый элементарный вопрос полностью характеризуется описанием субъекта вопроса и предпосылки вопроса, которая определяется требованиями выбора, степени полноты и различения. Согласно Н. Белнапу и Т. Стилу, вопрос через свой субъект задает область альтернатив, а затем «предпосылает» имеющемуся списку альтернатив инструкцию, в соответствии с которой из списка альтернатив предлагается построить конкретный тип прямого ответа. Прямой ответ есть конъюнкция, построенная из высказываний S, С и Д определяющих выбор, требование полноты и требование различения соответственно. Возможны следующие виды прямых ответов: S&C&D, S&C, S&D, S. Требование различения связано с особенностями естественных языков, а требование полноты соответствует коэффициенту полноты информационного поиска. Н. Белнапу и Т. Стилу фактически удалось имитировать лишь два типа вопросов — ли-вопросы и какой-вопросы. Развитие логики вопросов может быть полезно для построения языков запросов к базам данных и для логической систематизации социологических опросов. Лит.: БелнапН., Стил Г. Логика вопросов и ответов. М., 1981; Финн В. К. Логические проблемы информационного поиска. М., 1976; Хинтикка Я. Вопрос о вопросах.— В кн.: Философия и логика. М., 1974; Hurrah D. A Logic of Questions and Answers.— Philosophy of Science, vol. 4, 1961; Войшвимо E. К., Петров Ю. А. Язык и логика вопросов.— В кн.: Логика и методология научного познания. М, 1974. В. К. Финн
ЛОГИКАВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика — раздел логики символической, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. При этом в отличие от логики предикатов внутренняя структура простых высказываний не рассматривается, а учитывается лишь, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением. Поэтому логику высказываний некоторые авторы называют также «логикой предложений». В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно выбирают пять общеизвестных грамматических связок (союзов): «не», «и», «или», «если..., то» и «если..., и только если». Процесс символизации языка логики высказываний состоит в следующем. Элементарные высказывания заменяются пропозициональными переменными р, q, г, ... с индексами или без них; указанным выше грамматическим связкам ставятся в соответствие (с близким смыслом) логические связки, которые получают соответственно следующие обозначения и названия: -i (отрицание), л или & (конъюнкция), v (дизъюнкция), Z) (импликация) и = (эквиваленты); и, наконец, используются скобки (,) для того, чтобы можно было по-разному группировать высказываниям
415
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЯ отрицания -I связывает сильнее, чем двухместные связки. Т. о., правила задают эффективный способ распознавания, является ли выражение логики высказываний формулой. Затем делают два основных допущения, на которых основывается семантика логики высказываний: (I) Каждое простое высказывание является или только истинным, или только ложным (принцип двузначности). «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания и обозначаются соответственно И и Л, или 1 и 0. (II) Истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых высказываний. Это означает, что логические связки (их называют также пропозициональные связки) являются истинностными функциями. Удобным способом задания истинностных функций является табличный, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа — значения самой функции: р и и л л q и л и л PAq И л л л pvq И И и л p=>q и л и и p = q И Л Л И Р И Л -Р Л И Приведенные выше таблицы называются истинностными таблицами, а определяемые ими пропозициональные связки — классическими связками. Легко определить, сколько имеется различных классических связок. Число различных строк в таблице длины m равно 2т и на каждой из них значение функции можно задать двумя способами: И или Л. Поэтому число функций двузначной логики, зависящих от m аргументов, составляет 2 в степени 2т. Отсюда, напр., число одноместных связок равно 4, а число двухместных связок равно 16. Каждая формула задает некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей, содержащей 2т строк, если в формуле имеется m различных пропозициональных переменных. При этом формула может быть такой, что на каждой строке она принимает только одно значение, равное И, или только одно значение, равное Л. В первом случае она называется тавтологией (тождественно истинным высказыванием), а во втором — противоречием (тождественно ложным высказыванием). В формальной логике тавтологии играют важную роль. Они служат для записи ее законов (Закон логический), так как тавтологии являются всегда истинными высказываниями только в силу своей символической формы, независимо от содержания входящих в них исходных высказываний. Легко установить, что формулы вида Ad A, A v-A,-. (Ал-А) являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами, называются соответственно законом тождества, законом исключенного третьего и законом непротиворечия. Исключительно важное свойство истинностных таблиц состоит в следующем: они дают эффективную процедуру для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Указанная процедура называется разрешающей процедурой и отсюда следует, что развиваемая здесь логика высказывании является разрешимой логикой (см. Разрешения проблема). Вот некоторые общие факты о тавтологиях, настолько общие, что они называются правилами логики высказываний: 1. Правило заключения (modus ponens). Если А и Ar) В тавтологии, то В тавтология. 2. Правило подстановки. Если А(р) есть тавтология и В — формула, то А(В) тоже тавтология, где В замешает каждое вхождение переменной р в формуле А, т. е. подстановка в тавтологию приводит к тавтологии. Уже отсюда следует, что имеется бесконечное множество тавтологий. 3. Правило замены. Формулы А и В называют эквивалентными, если формула А = В есть тавтология. Очевидно, что если формулы А и В эквивалентны, то они равны как истинностные функции, т. е. принимают одинаковые истинностные значения. Тогда, если А = В есть тавтология, то С(А) = С(В) тоже тавтология, где С(А) — формула, содержащая некоторую формулу А в качестве своей составной части, и С(В) — формула, полученная из С(А) заменой этой составляющей А на формулу В. Из последнего правила следует, что можно преобразовывать формулы, получая другие, им эквивалентные, на более простые (содержащие меньше пропозициональных связок и переменных). Можно теперь любую формулу привести к какому-либо каноническому виду и этим решать определенного рода задачи. Более того, некоторые эквиваленции выражают основные свойства пропозициональных связок. Напр., эквиваленции (А л В) = (В л А) и (A v В) = (A v В) выражают коммутативный закон конъюнкции и соответственно дизъюнкции. Все эти вопросы (и другие) изучает алгебра логики, основы которой заложены в работах Дж. Буля ( 1847,1854) и А. де Моргана (1847). Отметим некоторые эквиваленции, указывающие на взаимовыразимость одних связок через другие: А л В=-i(-A v -iB), A v В= -ibA л-,В), AdB = -AvB, (А^В)ЦАзВ)л(ВзА). Система пропозициональных связок M называется полной, если всякая формула эквивалентна некоторой формуле, в которую входят только связки из системы М, т. е. посредством такой системы можно выразить все истинностные функции. Так, системы связок {-i, л, v}, {-¦, л}, {->,v} и {-i, 3 } являются полными. Это значит, что мы можем строить логику высказываний на основе любой из указанных систем связок. Оказывается, полной может быть система, состоящая только из одной связки |, которая называется «штрих Шеффера»: высказывание р | q истинно тогда и только тогда, когда неверно, что р и q оба истинны. Достаточность связки | следует из тавтологий -А = А|А, AvB = (A|A)|(B|B). Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для логики высказываний является понятие логического следования (см. Следование логическое), поскольку одной из главных задач логики является устанавливать, что из чего следует, и тем самым указывать, какие высказывания являются теоремами при заданных условиях. Всякую теорему можно записать в виде импликации и т. о. выделить ее условие и заключение. Говорят, В логически следует из А или является логическим следствием из А, и пишут А | = В, если в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение И во всех тех строках, где А имеет значение И. Отсюда вытекает, что А | = В тогда и только тогда, когда A Z) В есть тавтология. Если формула А тавтология, то иногда пишут | = А. Приведенное определение логического следования без труда расширяется на некоторую систему формул (систему посылок) А,,..., Ап, которая обозначается посредством Г, и тогда пишут Г | = В. Примером логического следования (вывода) из посылок является уже упомянутое правило modus ponens. Выводимость В из высказываний АиАэ В следует из того, что формула (А л (Аз В)) 3 В является тавтологией. Отметим также, что в силу таблиц истинности для связки импликации получаем, что тождественно истинная формула логически следует из любой системы формул. А из того, что имеется разрешаю-
416
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ щая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы В из заданной системы посылок также разрешима. Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, что дано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит серьезную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы нужно перейти к синтаксическому представлению логики высказываний. Формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними. Но теперь из всего множества тавтологий выбирают некоторое их конечное (и, вообще говоря, определяемые неоднозначно) подмножество, элементы которого называются ахтамшм*. Напр.:1.рЗ (qDp).l(pD(qD r))D((pDq)D(pD г)), З.р 3 (pvq),4.q3(pvq),5.(p 3 г) 3 ((q 3 г) 3 ((pvq) 3 г)), 6.(рл <0 3 р,7.(рлЧ) 3 q,8.(p 3q)3((p3r)3(p3 (q/ur))), 9.(p3 -^q)3 (qD-),10.pD H> 3 q),ll.pv-4>. Т. о., в отличие от табличного определение логических связок -ц л, V, з задается аксиоматически. Затем с помощью уже известных правил, но чисто формально осуществляется вывод — переход от высказывания или системы высказываний к высказыванию: из А и АзВ следует В (правило заключения); из А(р) следует А(В) (подстановка). Так, заданную логику высказываний обозначим посредством С2 и назовем классической. Каждая аксиоматическая система, которая использует правило подстановки, может быть переформулирована в виде системы аксиомных схем, где вместо пропозициональных переменных используются символы произвольных высказываний (т. н. метапеременные). В этом случае каждая аксиомная схема представляет бесконечное множество аксиом и тогда правило подстановки оказывается излишним. Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется исчислением гильбертовского типа. Выводом в нем называется всякая последовательность А,,..., А^ формул такая, что для любого i формула А есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула А называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является А; такой вывод называется выводом формулы А. Запись |— А служит сокращением утверждения «А есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г|— А (подробнее см. ВШидльтчмшш). Исходя из синтаксического представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы понимаются содержательно (как функции на множестве из двух элементов И, Л), а при синтаксическом подходе формула—это определенный набор символов и различаются только теоремы и нетеоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний по существу совпадают и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что совпадают понятия логического следования и понятия вывода. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всех А, |— А тогда и только тогда, когда |= А. Доказательство водну сторону, аименно: для всехА, если |—А, то |= А носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказательства теоремы нужно проверить, во-первых, что все аксиомы ( 1 )—( 11 ) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц, и, во-вторых, что правила вывода выбраны т. о., что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления С2, в том числе и сама доказуемая теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С2: в С2 формулы А и -А одновременно недоказуемы, т. е. исчисление высказываний С2 непротиворечиво. Ели бы это было не так, то (с использованием аксиомы (10) и двойным применением modus ponens) в С2 была бы доказуема любая формула В. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна. Имеет место и обратное утверждение о том, каждая тавтология доказуема, т. е для всех А, если |= А, то |— А. Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т. е. аксиом и правил вывода, исчисления высказываний С2 вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Т. о., поставленная цель достигнута; используя минимальные средства, можно обозреть все множество тавтологий. Имеется много различных аксиоматизаций С2, в том числе состоящих из одной аксиомы и содержащих только одну связку (штрих Шеффера). Понятно, что чем меньше аксиом, тем сложнее доказательства. И вообще, в гильбертовских исчислениях доказательство теорем и сам поиск вывода весьма громоздок. Поэтому используются другие формулировки исчисления, более или менее приближенные к естественным рассуждениям, такие, как m шшмшт. сояемрш, исчисление натурального вывода и др. Но соотношение между семантикой и синтаксисом здесь не столь прозрачно. Первая аксиоматизация классической логики С2 была гтред- принята F. Фреге(\Ъ79). Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация С2 появилась в «Principia Mathematical А. Штяеаш и К Ртахлт (1910-13). В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика может быть развита внуфи их системы. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э. Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Еще ранее это было сделано П. Бернайсом. В обоих случаях использовались двузначные истинностные таблицы (приведенные выше) для доказательства теоремы адекватности. В этом случае говорят еще, что эти таблицы являются характеристическими для С2. Теперь можно перейти к характеризации того, что называется классической логикой высказываний: (а) С2 основана на принципе двузначности (бивалентности). В последнее время большое развитие получили так называемые «бивалентные
417
ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ семантики», не только для С2; (Ь) двузначные истинностные таблицы являются характеристическими. В этом смысле классическая логика высказываний является минимальной; (с) классическая логика высказываний является максимальной в том смысле, что она не имеет расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает ее противоречивой; наконец, (d) классическая логика высказываний имеет наиболее простую семантику, которую можно только изобрести. Все это говорит о классической логике высказываний как уникальном явлении среди всего множества логик (см. Неклассические логики). Если в приведенной аксиоматизации С2 отбросить последнюю аксиому (исключенного третьего закон), то получим аксиоматизацию пропозициональной интуиционистской логики. Оказывается, она имеет континуум расширений (В. Л. Янков, 1968) и никакие конечнозначные истинностные таблицы не являются для нее характеристическими (К. Гёдель, 1932). Есть логики, которые имеют только одно расширение, т. е. саму С2. Что касается множества логик, то результат Янкова говорит о том, что существует континуум различных пропозициональных исчислений только определенного класса, т. е. таких логик, которые включают интуиционистскую логику (такие логики называются суперинтуиционистскими или промежуточными). Более того, в этом классе существует бесконечное множество логик, не имеющих конечной аксиоматизации, бесконечное множество неразрешимых логик, а также существуют конечнозначные логики с произвольным числом истинностных значений. Стоит отметить широкое применение алгебраических методов для решения различных задач логики высказываний. Это становится возможным прежде всего с истолкованием логики высказываний как некоторой структуры (в смысле алгебраической «теории структур»). Так, дистрибутивная структура с дополнениями (алгебры Буля) соответствует классической логике высказываний (см. Алгебра логики), а импликативная структура, где импликация является некоторым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение (псевдобулевы алгебры или алгебры Гейтинга), соответствует интуиционистской логике высказываний. Заметим, что в основе приложений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как высказываний. В заключение обратим внимание на применение классической логики высказываний для анализа и синтеза релейно- контактных схем (К. Шеннон, 1938 и В. И. Шестаков, 1941). В автоматическом управлении и при эксплуатации вычисли- тельныхмашинприходитсяиметьделосрелейно-контактными схемами, содержащими сотни и тысячи реле, полупроводников и магнитных элементов. Описание и конструирование таких схем весьма непростое дело. Оказалось, что на помощь может прийти логика высказываний. Каждой схеме ставится в соответствие определенная ее формула в языке {-i, л, v} и каждая формула реализуется с помощью некоторой схемы. Изучая соответствующую формулу, можно выявить возможности заданной схемы и упростить ее (решение подобного рода задач называется анализом схемы). Появляется возможность построить схему, заранее описав с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять (синтезирование схемы). Остается только добавить, что именно классическая логика высказываний лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, хотя в последнее время ведутся подобные работы, основанные на других логиках — многозначных, нечетких, паранепротиворечивых. Лит.: Клини С. К. Введение в математику. М, 1957; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. I. M, I960; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М, 1984; Карпенко А. С. Классификация пропозициональных логик.— В кн.: Логические исследования, вып. 4. М, 1997; Яглом И. М. Булева структура и ее модели. М., 1980; Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений.— В кн.: Доклады Академии наук СССР, 1968, т. 181, № 1; Логика высказываний (Яновская С. А.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964; Epstein R. L. The semantic foundations of logic, vol. I: Prepositional logic. Dordrecht, 1990; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879-1931, Harvard University Press, 1967, p. 264-283. А. С. Карпенко