Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M
Шрифт:
ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ- см. Индуктивная логика.
ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ- см. Многозначные логики.
ЛОГИКА НАУКИ— направление логических и философских исследований научного знания, основными задачами которого являются описание строения и структуры науки, определение важнейших познавательных функций научного знания и анализ используемых в различных научных дисциплинах — математике, естествознании, социальных, гуманитарных и технических науках логических процедур получения и обоснования знания, методов доказательства и опровержения. По своим задачам она тесно связана с философией науки, социологией науки и психологией научного исследования и открытия. Основное отличие логики науки от философии науки состоит в том, что в ней преимущественное внимание уделяется использованию средств формальной логики, прежде всего современной формальной логики для анализа научного знания, в то время как в философии науки главными методам исследования являются эпистемологические, историко-научные и методологические средства, причем научное знание рассматривается не только в контексте его структуры и функций, но также и в аспекте его генезиса. От социологии науки и психологии научного исследования логика науки отличается тем, что центральные ее проблемы концентрируются вокруг построения теоретически, формальных — в идеале формализованных моделей научного знания, а социология и психология науки ориентированы на эмпирические исследования структуры, функций и форм деятельности научного сообщества (социология науки) и выявление психологических механизмов создания нового знания (психология научного исследования). В логике науки иногда выделяется особая область — логика научного исследования, в которой основной акцент делается на анализе динамической, процессуальной стороны научного творчества. Исследования по логике науки начались в период формирования современной экспериментальной науки в 16—17 вв. в трудах Галилея, Фр. Бэкона, Декарта, Лейбница, Юма и других классиков философии Нового времени, хотя в то время и даже значительно позже термин «логика науки» не использовался. Существенный вклад в разработку этой проблематики внес позитивизм Конта, Спенсера, Маха, прагматизм Пирса и Джемса, конвенционализм Пуанкаре, операционализм Бриджмена и т. д. Специальное внимание исследованию логических оснований научного знания было уделено в сер. и в кон. 19 в. Дж Гершелем, У. Уэвеллом, Дж. С. Миллем, С. Джевонсом, П. Дюгемом и фактически с их исследований
418
ЛОГИКА НАУКИ началась реальная история логики науки с преимущественным акцентом на разработку проблем индуктивного обоснования научного знания. В 20 в. логика науки стала одной из наиболее активно разрабатываемых областей философско-логических исследований. Этому способствовала возможность использования для анализа научного знания средств математической логики, основы которой были заложены Дж. Булем, Г. Фреге, Б. Расселом и др. Существенные результаты были получены в первой трети 20 в. и позднее сторонниками логического позитивизма (М. Шлик, Р. Карнап, Г. Рейхенбах, Ф. Франк, К. Гемпель и др.), которые в своих исследованиях опирались на фундаментальные работы Рассела по логическому атомизму и на «Логико-философский трактат» Витгенштейна. В 50—80-е гг. важную роль в разработке идей логики науки сыграли работы представителей критического рационализма (основатель этого направления Поппер еще в 30-е гг. получил известность как оригинальный исследователь проблем логики и роста научного знания) и постпозитивизма (Т. Кун, И. Лакатош, П. Фейерабенд, Ст. Тулмин, Д. Агасси и др.). В результате в 20 в. в рамках аналитической философии сформировались три главных направления исследований по философии и логике науки: 1) логический анализ языков науки и исследования по формализации таких языков; 2) лингвистический анализ обыденного языка, который, естественно, используется также и в науке; 3) логико-методологический анализ развития научного знания, смены парадигм научного исследования, логические и внелогические факторы динамики научного знания. В последние два-три десятилетия 20 в. к этим трем направлениям добавились исследования по использованию средств т. н. неформальной логики (Informal Logic) для анализа научного, гл. о. гуманитарного, знания. В России и Советском Союзе разработка проблем логики науки велась на рубеже 19 и 20 вв. преимущественно в связи с анализом гуманитарного знания (Н. Лосский, А. Лосев и др.) и весьма активно, начиная с 50—60-х гг., в области исследования современного математического,
419
ЛОГИКА НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ЛОГИКА НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ- в широком смысле является синонимом логшкш ялуиж, в узком используется для обозначения раздела логики науки, в рамках которого исследуется динамическая, процессуальная сторона получения и обоснования научного знания. Выражение «логика научного исследования» используется в русскоязычной философской литературе для перевода немецкого и английского названий книги К. Поппера «Logik der Forschung» и «The Logic of Scientific Discovery». Bo 2-й пол. 20 в. было предложено несколько специальных программ построения логики научного исследования («генетическая эпистемология и логика» Г П. Щедровицкого, программа, выдвинутая группой киевских философов и логиков под руководством П. В. Коп- нингц M. В. Поповича и др.). Результаты, полученные при реализации этих программ, фактически не вышли за рамки проблематики философии и логики науки. См. также ст. Ложа таукш, Мешюдо/югая, Фшлософтя ттукш и лит. к ним. В.Н.Садовский «ЛОГИКА НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ» К. Поп- пера — первая опубликованная в 1934 книга К. Поппера (Logik der Forschung. Wien, 1934; пер. на англ. яз.: «The Logic of Scientific Discovery». L—N. Y, 1959; сокращенный пер. на рус. яз. в кн.: Поппер К. Логика и рост научного знания. М., 1983). В 1951—56 Поппер написал большую по объему работу под названием «Постскриптум к «Логике научного исследования»» и планировал опубликовать ее вместе с изданием английского перевода «Логики научного исследования», однако эта работа в трех томах появилась только спустя 25 лет после ее написания (topper К. Postscript to the Logic of Scientific Discorciy v. I. Realism and the Aim of Science. L—N. Y, 1983; МЯ. II. The Open Universe. An Argument for Indeterminism. L— N. Y., 1982; \Ы. HI. Quantum Theory and the Schism in Physics. L—N. Y, 1982; сокращенный пер. на рус. яз. 3-го тома: Поппер К. Квантовая теория и раскол в физике. М., 1998). Книга Поппера «Логика научного исследования» имела очень широкий резонанс прежде всего благодаря изложению в ней оригинальной концепции критического рационализма, своей явной антипозитивистской направленности и формулированию основных принципов фальсификационистской теории научного знания (фальсификационизм). В этой книге Поппер резко выступил против широко распространенного взгляда, согласно которому для эмпирических наук характерно использование индуктивных методов. Присоединяясь к юмов- ской критике индукции с логической точки зрения, он в то же время отвергает и психологическое оправдание индукции, принимаемое Юмом, и утверждает; что логику науки следует понимать как теорию дедуктивного метода проверки научного знания, т. е. как воззрение, согласно которому гипотезу можно проверить только эмпирически и только после того, как она была выдвинута. В соответствии с этими исходными установками Поппер предлагает заменить неопозитивистский принцип тршфшцщр]ц тосяш теорий (подтверждение универсального утверждения истинными единичными свидетельствами, из чего по логическим законам не следует истинность такого универсального утверждения), принципом фтмстфтштруемо- аю (опровержения универсального утверждения противоречащим ему истинным единичным свидетельством). Из этого следует невозможность доказательства (подтверждения) гипотез и теорий, но до тех пор, пока попытки их опровержения являются безуспешными, такие теории можно считать подкрепленными эмпирическими данными. Попперовская логика научного исследования противостоит логическому позитивизму и по ряду других важных пунктов. Согласно Попперу реально существуют философские, метафизические проблемы и, в частности, проблема различения науки и ненауки, которую неопозитивисты пытались безуспешно решать как проблему языка науки на основе принципа верифицируемости. Эта проблема является действительно философской проблемой, а именно проблемой демаркации, и она успешно решается на основе принципа фальсифициру- емости. В критическом рационализме Поппера отрицается, что чувственные восприятия, «чистое» наблюдение являются источником знания; по Попперу не существует фундаментального, привилегированного источника знания. Он признает любой способ роста и развития знаний: прежде всего использование теорий и гипотез, а также метафизических систем, мифов и т. п. Поппер не признает дихотомии эмпирического —теоретического знания; по его мнению, любое знание, даже наш чувственный опыт, несет на себе отпечаток теорий. Следствиями фальсификационистской концепции научного знания являются попперовская теория погрешимости всего научного знания и его принципиальное утверждение о том, что все человеческое знание имеет предположительный, гипотетический характер (фаллибилизм). Метод проб и ошибок, согласно Попперу является основным методом развития научного знания и, следовательно, он определяет путь развития науки. Идеи «Логики научного исследования» Поппера получили существенное развитие в последующих его сочинениях, прежде всего в ранее упомянутом «Постскриптуме», а также в книгах «Открытое общество и его враги» (англ. изд. — 1945; рус. пер. — М, 1992), «Conjectures and Refutations» (L., 1963) и «Objective Knowledge» (Oxf., 1972). Лиг.: Грязное Б. С. Логика, рациональность, творчество. М., 1982; Садовский В. НО К. Поппере и судьбе его учения в России.— «ВФ». 1995, № 10; Никифоров A JI. Философия науки: история и методология. М, 1998; topper К. Unended Quest. An Intellectual Autobiography. L, 1992; The Philosophy of Karl tapper. The Library of Living Philosopheis, ed by Schilpp R A., v. 14, b.I-IL N. Y, 1974; Miller D. Critkxrf Rationalism. A Restatement and Defence. Chic., 1994. B.H. Садовский
ЛОГИКА НОРМ- см. Деонтическая логика
ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ- 1. Раздел современной логики, рассматривающий ояшоиышш между объектами нек-рой предметной области (областей). Хотя отношения для логики — частный случай предикатов, а именно многочленные, или многоместные (л-местные, п > 2), предикаты (а свойства трактуются соответственно как одноместные отношения), изучение их составляет особую сферу логики, особенно когда исследуются двуместные (бинарные) отношения. Обычное обозначение последних имеет вид R (дс, у) или х R у, где х, у — переменные, значениями которых являются предметы заданной области (областей), a R— какое-либо отношение («раньше», >у «отличаться от» и т. п.); с объемной точки зрения бинарное отношение есть класс упорядоченных пар (для трехчленных, или тернарных, отношений — это упорядоченные тройки, для четырехчленных — четверки и т. д.) предметов данной предметной области (областей). В логике отношений изучаются свойства отношений, такие, как рефлексивность, симметричность, транзитивность и др. (напр., в приведенных примерах отношение «раньше» транзитивно, но не симметрично, отношение «>» транзитивно и рефлексивно, а отношение «отличаться от» не транзитивно, но симметрич-
420
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ но), а также операции над отношениями, в определенном смысле аналогичные операциям над классами (одноместными отношениями). 2. Возникшая в 19 в. логико-философская теория, трактующая суждения как форму мышления, выражающую отношения между предметами. В отличие от атрибутивного понимания суждения как приписывающего предмету (логическому подлежащему S) какие-либо свойства (логическое сказуемое, или предикат Р в смысле аристотелевской логики), в логике отношений схемах Ry считается универсальной формой суждений, лежащей в основе всех умозаключений. В логике отношений последние различаются по характеру используемых в них отношений, причем умозаключения понимаются как перенос отношений с одних предметов на другие. Видными представителями логики отношений были Ж. Лашелье, Ш. Серрюс, в России Каршюаш, Рутковашй, Поварнин. Ныне логика отношений как особое направление сохраняет лишь историческое значение. Лет.: Избр. труды русских логиков XIX в. М, 1956; Поварнин С. И. Логика. Общее учение о доказательстве. П., 1915; Он же. Логика отношений. П., 1917; Серрюс Ш. Опыт исследования значения логики. М., 1956; Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971. Б. В. Бирюков
ЛОГИКАПОР-РОЯЛЯ — книга по дедуктивной логике, вышедшая в Париже в 1662 анонимно под названием «Logique ou l'art de penser» («Логика или искусство мыслить»). До нач. 19-го столетия была самым популярным учебником логики, выдержала более 50 французских изданий, несколько английских и латинских переводов. Лейбниц назвал эту книгу замечательной, несмотря на выраженную в ней адаптацию логической мысли к методологическим принципам картезианской философии. Свое второе имя — «Логика Пор-Рояля» — книга получила по месту рождения — янсенистскому монастырю Port-Royal des Champs, где жили и работали ее авторы — французские ученые А. Арно и П. Николь. Создавая книгу, они решали задачу, намеченную Декартом; отделить «верные и хорошие» правила логики от «вредных и излишних». При этом они пошли по пути упрощения или отбрасывания всех («схоластических») тонкостей, выработанных логической мыслью предыдущих эпох. Так, они обходят тему логики высказываний (consequentiae), семантических парадоксов (insolubilia), зачатки временной логики (obligatoria) и учение о несобственных символах (syncategoremata). Однако, демонстрируя критицизм в отношении схоластики, авторы заняты одновременной реабилитацией силлогистической дедукции (в противовес индуктивизму эпохи Возрождения), правда, при явном снижении интереса к символическому аспекту этой дедукции: полуформальный аппарат аристотелевской теории по существу упразднен и заменен объяснениями на примерах, которые a propos используются для пропаганды картезианской философии и теологических истин. При этом и мысль Декарта, что точные рассуждения можно найти только в математике, и его идея mathesis universalis в «Логике Пор-Рояля» отражения не нашли. Исключив всякий намек на математический анализ умозаключений, авторы трактуют логику не как наук); а как искусство, — но не как искусство «исчисления выводов» путем комбинирования формул, а как искусство здраво судить о вещах помимо всякого рода формул, руководствуясь только «естественным светом разума». Если доказательство очевидно, но противоречит правилам, нужно отбросить правила. Вот почему главным предметом анализа авторы считают не логический вывод, а его посылки: ошибаются обычно не оттого, что плохо умозаключают, а оттого, что исходят из ложных посылок. Соответственно их главное внимание — к прикладному и методологическому аспектам логики как основным условиям «прояснения смысла» суждений и развития «способности суждения» (важный раздел их логики — анализ суждений в «составных» силлогизмах). Характеризуя методологический аспект «Логики Пор-Рояля», следует заметить, что ее авторы еще не делают различия между критериями истинности и правильности, часто апеллируя не к форме, а к интуитивной ясности рассуждения. С их точки зрения, «естественный способ изложения истины» — причинно-следственный, а не логический, поэтому надо стремиться к «естественной связи идей». Примером неестественных рассуждений служат косвенные доказательства (см. Доказательство косвенное). Согласно авторам «Логики Пор-Рояля», косвенно можно доказывать только отрицательные положения, но нельзя доказывать суждения существования (зачаток интуиционистской критики в теории доказательств). Нельзя также умозаключать от частного к общему. Только полная индукция является верным средством познания. Не все математические суждения аналитические, а только аксиомы, которые познаются умозрительно. Очевидность (интуитивная ясность) есть признак аналитичности: реальное и неочевидное нельзя брать как аксиому, но номинально определенное можно. Теорию определений авторы заимствуют у Паскаля, а общее учение о методе — у Декарта. Обе темы авторы относят к «самой полезной и самой важной» части общей логики. В разделе об определении они указывают на необходимость сообразоваться с обычным словоупотреблением и строго различать определение имени (definitio nominis) и определение вещи (definitio rei). A в разделе о методе они указывают два: 1) анализ (метод решения или изобретения), который служит для открытия истин, и 2) синтез (теоретический метод), который служит для изложения истин уже открытых. Первый «скорее заключается в проницательности и способности ума правильно оценивать вещи, чем в особых правилах» (см.: «La Logique...». P., 1775, p. 361), второй — по существу аксиоматический метод геометрии с добавлением правил для определений, для аксиом, для доказательств и для самого метода, отражающих картезианский подход к основам науки. Оценивая «Логику Пор-Рояля» в целом, можно предположить, что, хотя эта логика была шагом в сторону от собственно математического направления развития логики, именно созданный ею образ этой науки способствовал тому, что формальная логика с тех пор не покидала кафедр высших учебных курсов, гимназий и университетов. Соч.: Arnauld A., Nicole P. La Logique ou Tart de penser. P., 1965 (рус. пер. В. П. Гайдамака с послесловием А. Л. Субботина по изданию 1752 г.: Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить. М., 1991). Лит.: Попов И С. История логики нового времени. М., 1960, с. 32— 35; Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М, 1967, с. 204—206; Пор-Рояля логика (Новоселов М. Щ.
– В кн.: Философская энциклопедия, т. 4. М, 1967; Kneak W., Kneate M. The development of logic. Oxf., 1962; Kotarbinski T. Lecon sur l'histoire de la logique. Warsz., 1965, Ch.VlII; Blanche R. L'histoire de la logique. P., 1970, p. 179-187. M. M. Новоселов
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ— раздел современной тгыкм символической, изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учетом внутренней структуры входящих в них
421
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, т. е. как знаки некоторых функции или же знаки аргументов этих функций. Важнейшая особенность логики предикатов состоит в том, что т. н. общие имена (напр., «человек», «город», «металл»), знаки свойств («белый», «умный», «электропроводный») и знаки отношений («старше», «севернее», «тяжелее») рассматриваются как принадлежащие одной категории знаков, а именно, категории предикаторов — предметно-истинностных функторов. Предикаторы репрезентируют функции, возможными аргументами которых являются объекты некоторого универсума рассмотрения, а значениями — истинностные оценки (в классической логике — это «истина» и «ложь»). Напр., преди- катор «человек» представляет функцию, которая каждому отдельному человеку сопоставляет оценку «истина», а каждому отличному от человека существу — оценку «ложь». Функция, соответствующая предикатору «севернее», сопоставляет «истину» каждой такой паре географических точек, первая из которых действительно расположена севернее второй (напр., паре 'Петербург, Москва'), всем остальным парам географических точек (напр., парам <Москва, Петербургglt; и <Москва, Москваglt;) эта функция сопоставляет оценку «ложь». Предикаторы различаются, как говорят, своей местностью: предикаторы, представляющие предметно-истинностные функции от одного аргумента, называются одноместными, те, которым соответствуют функции от двух аргументов, — двухместными и т. д. (напр., предикатор «человек» одноместный, а предикатор «севернее» двухместный). Множество тех объектов универсума (или же множество тех п-ок объектов), которым одноместная (многоместная) предметно-истинностная функция сопоставляет значение «истина», называется областью истинности соответствующего предикатора. Часто при построении логики предикатов пре- дикаторам в качестве значений сопоставляются области их истинности, т. е. свойства (для одноместных предикаторов) и отношения (для многоместных предикаторов), рассматриваемые с объемной, экстенсиональной точки зрения. Другой отличительной чертой логики предикатов является использование особого типа логических символов — кванторов и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные «пробегают» по множеству всех объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов этого множества, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Наиболее употребимы в логике квантор общности V (в естественном языке ему соответствуют термины типа «всякий», «каждый», «любой», «произвольный») и квантор существования 3 («существует», «найдется», «имеется», «некоторый»). К примеру, логическая форма высказывания «Некто умен» может быть выражена с использованием квантора 3 и переменной х, пробегающей по множеству людей, так: 3 xP(jc), где символ Р соответствует одноместному
422
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ми которых являются индивиды, напр., «+», «возраст», «расстояние от... до ...»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (р, q, г, - ) __ аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая. Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов ее алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений — термы и формулы. Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: (1) всякая предметная переменная — терм; (2) всякая предметная константа — терм; (3) если Ф — л-местная предметно-функциональная константа, и t,, t2,..., tn — термы, то выражение 0(t,, t2,..., tn) является термом; (4) ничто иное термом не является. Среди термов различают простые (указанные в пунктах (1) и (2) данного определения), и сложные (указанные в пункте (3)), а также замкнутые (не содержащие в своем составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имен естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые — аналогами т. н. именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имен на места переменных, напр., «рост х», «х х 5», «разница в возрасте между х и у»). Понятие формулы также определяется индуктивно: (1) если П — л-местная предикаторная константа, и t, t2,..., t — термы, то выражение n(tpt2,...,tn) является формулой; (2) если А — формула, то -тА — формула; (3) если А и В — формулы, то выражения (АлВ), (AvВ), (Аз В) также являются формулами; (4) если А — формула, и а — предметная переменная, то выражения Va А и За А также являются формулами; (5) ничто иное формулой не является. Внешние скобки в формулах обычно опускают. Заметим, что в определениях терма и формулы используются т. н. синтаксические переменные (А, В, a, t,, t3,..., tn, Ф, П) — переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка. Формулы, соответствующие пункту (1) определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) — сложными, или молекулярными. Различение замкнутых и незамкнутых формул требует предварительного введения нескольких синтаксических понятий. Подформула А в составе формул вида Va А и За А называется областью действия квантора ( V или 3 ) по переменной а. Конкретное вхождение некоторой переменной в некоторую формулу называется связанным, если это вхождение следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора поданной переменной; в противном случае вхождение переменной называется свободным. Переменная а. свободна в формуле А, если и только если существует свободное вхождение a в А; переменная асвязана в формуле А, если и только если существует связанное вхождение a в А. (Иногда при формулировке языка логики предикатов свободные и связанные переменные различают уже на этапе задания его алфавита, для них используют различные списки символов. В таком случае разрешается квантификация только связанных переменных, а свободные переменные выступают в роли неквантифицируемых индивидных параметров.) Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных вхождений предметных переменных; в противном случае она является незамкнутой. Замкнутые формулы являются аналогами высказываний естественного языка (результатом символической записи любого высказывания является именно замкнутая формула), поэтому их иногда называют предложениями языка логики предикатов. Незамкнутые формулы соответствуют т. н. пропозициональным формам — выражениям естественного языка с переменными (напр., «х выше у», «х смелый»), из которых могут быть образованы вы- сказыванияпосредствомопераций константного или квантор- ного замыкания (напр., «Эверест выше Арарата», «Существует х такой, что je смелый»). Семантическое построение классической односортной логики предикатов первого порядка может осуществляться различными способами. Сформулируем наиболее естественную, теоретико-множественную объектную семантику описанного выше языка. Первый этап ее построения — задание класса допустимых интерпретаций нелогических символов языка. С этой целью выбирается некоторое множество U, называемое областью интерпретации (универсумом); единственным ограничением, накладываемым на U, является требование его непустоты. Приписывание значений нелогическим символам релятивизи- руется относительно выбранной предметной области. Его можно осуществить посредством специальной интерпретирующей функции I. Эта функция сопоставляет произвольной предметной константе к некоторый объект из универсума U: I(k) е U (при этом становится очевидным, что предметные константы имеют тот же тип значений, что имена естественного языка, и могут рассматриваться в качестве параметров последних), п-местной предикаторной константе П в качестве значения обычно приписывают экстенсионально понимаемые свойство или отношение на U, т. е. некоторое множество упорядоченных л-ок объектов из универсума: 1(П) c Un(Un —n-ная декартова степень множества U). Имеется и другая возможность — сопоставить константе П n-местную функцию, аргументами которой являются элементы универсума, а возможными значениями И («истина») и Л («ложь»): 1(П) есть функция типа Un —» {И,Л}. Во втором случае предикаторные константы рассматриваются как знаки предметно-истинностных функций. Произвольной n-местной предметно-функциональной константе Ф интерпретирующая функция сопоставляет в качестве значения n-местную операцию, заданную на множестве U (ее аргументами и значениями являются элементы универсума): 1(Ф) есть функция типа Un —> U. Интерпретирующую функцию I, релятивизированную относительно некоторой предметной области U, а точнее — пару <U, 1>, называют моделью или возможной реализацией. Выбор конкретной модели детерминирует значения всех замкнутых термов и замкнутых формул языка логики предикатов. Для определения значений незамкнутых термов и формул необходимо дополнительно зафиксировать, распределить значения предметных переменных (таковыми, как и для предметных констант, являются элементы универсума). Следующим этапом семантического построения логики предикатов является формулировка точных правил установления
423
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ значений правильно построенных выражений ее языка (т. е. термов и формул) в рамках выбранных модели <U, I> и распределения ф значений предметных переменных. Значениями термов в <U, I> при <р являются объекты из U. Значения предметных констант и переменных уже определены посредством функции I и <р соответственно. Значением сложноготермаФО,, t,, ...,1п)являетсятотобъектизи, который представляет собой результат применения операции 1(Ф) к n-ке значений (в этой же модели и при этом же распределении) термов t,, tj,..., tn. Пусть, напр., в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, предметно-функциональная константа f проинтерпретирована как операция сложения, а предметные константы а и b как числа 2 и 3. Тогда значением терма f(a,b) в соответствующей модели будет результат сложения 2 и 3, т. е. число 5. Формулы языка логики предикатов принимают в модели <U, 1> при распределении <р ровно одно из двух значений — И или Л. Атомарная формула вида П(т,, t^..., tn) принимает — при трактовке предикаторных констант как знаков экстенсионально понимаемых свойств и отношений — значение И, если и только если n-ка значений (в данной модели и при данном распределении <р) термов t,, t^,..., tn действительно находится в отношении ЦП), когда п > 1, или обладает свойством 1(П), когда п = 1. Если же предикаторные константы интерпретируются как знаки предметно-истинностных функций, то n(t,, tj,..., tn) примет значение И в том и только в том случае, когда результат применения подобной функции 1(П) к указанной n-ке объектов даст И. В упомянутой в предыдущем примере конкретной модели и при интерпретации пре- дикаторной константы R как отношения «меньше» формула R(a,b) примет значение И, т. к. 2 действительно меньше 3, а формула R(b,a) — значение Л, посколысу 3 не находится в указанном отношении к 2. Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к <U, I> и <р) такими же, как в классической логике высказываний. Семантические определения для кванторных формул таковы: V аА (соответственно 3 аА) истинна в модели <U, I> при распределении <р, если и только если ее подкванторная часть А принимает значение И в той же модели при любом (при некотором) распределении у значений предметных переменных, отличающемся от ф не более, чем значением gl Другими словами: формула V аА истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной а (сохранив при этом значения остальных переменных), а В аА истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной а формула А оказывается истинной. Завершающим этапом в построении логики предикатов является введение понятии закона этой теории (общезначимой формулы) и различных логических отношений между формулами. Наиболее важным из них является отношение логического следования (см. Следование логическое), поскольку его наличие составляет критерий корректности дедуктивных умо- Говорят, что формула значима (истинна) в модели <U, I> при некотором распределении <р значений предметных переменных, если и только если данная формула принимает значение И в этой модели при этом распределении. Формулу называют значимой (истинной) в модели <U, I>, если она значима в ней при любом распределении элементов U предметным переменным. Формула называется общезначимой на множестве U (U-общезначимой), если она значима в каждой модели с универсумом U. Формула называется универсально общезначимой (или просто — общезначимой), если она общезначима на любом (непустом) множестве. Факт общезначимости формулы А обычно выражается в метаязыке следующей записью: |==А. Общезначимые формулы — это законы логики предикатов, поскольку они истинны при любых допустимых в данной теории интерпретациях нелогических символов. Конкретизация понятия логического следования в логике предикатов осуществляется следующим образом: из множества формул Г логически следует формула В (Г |= В), если и только если в любой модели и при любом распределении значений предметных переменных, при которых истинна каждая формула из Г, формула В также примет значение «истина». В сформулированном выше семантическом варианте правила установления значений формул имеют отчетливо выраженную объектную направленность: они предполагают, что при решении вопроса об истинности или ложности происходит соотнесение выражений языка с нелингвистическими сущностями (индивидами, свойствами, отношениями, функциями, связанными с некоторой предметной областью). Альтернативой объектной интерпретации формул языка логики предикатов является т. н. подстановочная интерпретация. Смысл ее состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые бы не предполагали соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опирались бы только на информацию о значениях элементарных, атомарных предложений (в подобном стиле обычно строится логика высказываний, где при установлении значений формул необходимо лишь, чтобы каким-то — неважно каким—образом былоосуществленораспределение значений для пропозициональных переменных). Т. о., при подстановочной интерпретации мы, скорее, имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается, по существу, в синтаксическом аспекте — как дедуктивно замкнутое множество предложений языка. Технически «подстановочная» семантика логики предикатов может быть сформулирована следующим образом. Значения здесь естественно сопоставлять лишь замкнутым формулам, поскольку именно эти формулы представляют собой предложения теории и могут оцениваться как истинные или ложные в ней. Задается функция оценки V, отображающая множество замкнутых формул вида n(t(, t^..., tn) на множество {И J1} (содержательно — Ураспределяет значения для элементарных предложений языка теории). Правила установления значений замкнутых формул видов -А, Ал В, A v В, А=> В — стандартные. Формула V аА (соответственно ЗаА) примет значение И при оценке V, если и только если данное значение при V имеет любой (соответственно по крайней мере один) результат подстановки в формулу А замкнутого терма t вместо всех свободных вхождений переменной а (содержательно — общее (частное) предложение истинно в теории, если и только если соответствующее бескванторное утверждение справедливо дли любого (хотя бы для одного) сингулярного термина, принадлежащего словарю данной теории). Класс замкнутых формул, принимающих при оценке V значение И, как раз и представляет собой некоторую теорию в описанном выше
424
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ смысле. Можно далее ввести понятия закона логики предикатов (логически истинного предложения теории): |= А тогда и только тогда, когда при любой оценке V (т. е. в любой теории) А принимает значение И. Множество формул, являющихся законами классической логики предикатов первого порядка, вообще говоря, бесконечно. Среди них — каждый подстановочный случай произвольной тавтологии логики высказываний (т. е. результат замещения в ней пропозициональных переменных формулами языка логики предикатов). Вот некоторые другие наиболее важные типы общезначимых формул. Законы удаления квантора общности и введения квантора су- шествования: VoAz>A(t), A(t)=>3aA, где A(t) — результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений предметной переменной а в формулу А (подобная подстановка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений а в А не находится в области действия квантора по переменной, входящей в состав терма t). Законы взаимовыразимости кванторов: VaA=-За-А, ЗаА=-• Va-A (где = — знак эквиваленции, которую можно ввести посредством определения (А = В) = w (A z> В) л (В z> A)). Законы перестановочности кванторов: VaV?A => V?VaA, ЗоЗрА => ЗрЗаА, 3aV?A z> V?3aA Законы пронесения и вынесения кванторов: Va-тА = Заа-А, За-А^Va-A, Va(A л В) = ( VaAA л VaB), За(А v В) = (aaA v ЗаВ), (ЗаА з VaB) з Va(A з В), За(А з В) = (VaA з ЗаВ), Va(A v В) = (AvVaB), За(А л В) = (А л ЗаВ), Va(A з В) = (А з VaB), 3a(A з В) = (А з ЗаВ), Va(Bz>A) = (3aBz>A), 3a(Bz>A) = (VaBz>A) (в формулах последних шести типов переменная a не должна содержаться свободно в формуле А). Как известно, помимо семантического представления логических теорий имеется другой, синтаксический метод их построения — в виде логических исчислений. Суть этого метода состоит в формулировании точных правил оперирования со знаками (формулами языка), позволяющими без использования каких-либо семантических понятий («интерпретация», «модель», «истина») осуществлять обоснование логических законов и форм корректных рассуждений. При этом в исчислениях постулируется лишь некоторый минимум дедуктивных средств, дающий тем не менее возможность обозреть все бесконечное множество законов и модусов правильных рассуждений соответствующей логической теории. Существует много различных способов построения логических исчислений (Иотслате irwimw, Натуральный вывод, Аналитические таблицы), в том числе и классического исчисления предикатов первого порядка. Исторически первыми появились аксиоматические исчисления (исчисления гильбертовского типа), в которых, как и при аксиоматическом представлении логики высказываний, статусом аксиом наделяется конечное число общезначимых формул и постулируется некоторый набор правил вывода. Однако в силу сложности формулировок правил подстановки, используемых в этом случае, удобнее строить аксиоматическое исчисление предикатов со схемами аксиом, каждой из которых соответствует бесконечное число аксиом одного и того же типа. Примером одной из возможных аксиоматизаций логики предикатов может служить следующая: в качестве исходного логического символа алфавита, наряду с пропозициональными связками -I, л, v, з, выбирается лишь KBamopV. Постулируется некоторый полный набор схем аксиом классического исчисления высказываний (они задают смысл -ц л, v, з. Дополнительно вводятся две схемы аксиом, задающих смысл квантора V: закон удаления квантора Vaz> A(t) и один из законов пронесения квантора Va(A з В) з (А з VaB) с указанными ранее ограничениями. В исчислении имеется также два правила вывода: АЕ? ? (modusponens), —^- (генерализация). В VaA Квантор существования вводится по определению: ЗаА =^-1 Va-A Следующий этап в построении исчисления — введение понятий доказательства и вывода, а также синтаксических аналогов понятия общезначимой формулы и отношения логического следования — понятия теоремы и отношения выводимости. Доказательством называют непустую конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой исчисления, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из исходных правил вывода. Последняя формула доказательства называется теоремой или доказуемой в исчислении формулой (метаугверждение «А — теорема» принято записывать так: |—А). Вывод из множества допущений Г отличается от доказательства тем, что в нем разрешено дополнительно использовать формулы из Г. Однако, если ставится задача адекватного воспроизведения отношения логического следования, понятие вывода должно быть дополнено наложением некоторых ограничений на применение правила генерализации (дело в том, что—в отличие от modus ponens—из посылки А данного правила не следует логически его заключение VaA). Указанная проблема может быть решена различными способами, напр., введением понятия вывода с варьируемыми переменными. Довольно естественным представляется другой путь, основанный на понятии зависимости формул вывода от допущений: каждое допущение зависит от самого себя; аксиома не зависит от допущений; результат применения modus ponens зависит от тех допущений, от которых зависит хотя бы одна из посылок правила; при применении генерализации зависимости сохраняются. Теперь необходимые ограничения в определении вывода можно сформулировать следующим образом: формула VaA может быть получена по правилу генерализации из А, зависящего от множества допущений А лишь в том случае, когда a не имеет свободных вхождений ни в одну формулу из А. Если имеется вывод из множества допущений Г, последней формулой которого является формула В, говорят, что В выводима из Г (Г |— В). Отношение выводимости в логике предикатов обладает одним важным свойством, которое фиксируется в т. н. дедулцш теореме: если ГА |— В, то Г}—Аз В. Данное свойство существенно упрощает процедуру построения выводов и может быть использовано в качестве производного правила вывода. Другим подобным правилом является т. н. правило эквивалентной замены: если р- A s В, то |— СА = Св (где СА — произвольная формула языка логики предикатов, содержащая в своем составе некоторое вхождение формулы А, а Св—результат замещения выделенного вхождения А в СА формулой В).