Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M
Шрифт:
425
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Правило эквивалентной замены используется, в частности, при осуществлении процедуры приведения формул языка логики предикатов к какому-либо стандартному, каноническому виду. Наиболее известным каноническим типом формул языка логики предикатов являются предваренные нормальные формы. Формула находится в предваренной нормальной форме, если она имеет вид Q^Q^.-.Q^B, где каждое Q. есть V или 3, переменные а , а2,..., ап попарно различны и В не содержит кванторов (т. е. формула начинается кванторнои приставкой, после которой следует бескванторная формула). Доказуемо метаутверждение о том, что для любой формулы языка логики предикатов существует логически эквивалентная ей формула в предваренной нормальной форме (при приведении формул к данному каноническому виду используются законы вынесения кванторов, причем иногда более сложные, чем указанные выше). Разновидностью предваренных являются т. н. сколемовские нормальные формы — замкнутые формулы, в которых всякий квантор существования предшествует в кванторнои приставке всякому квантору общности. Для каждой формулы А языка логики предикатовбезпредметныхи предметно-функциональных констант, но с бесконечным числом предикаторных констант произвольной местности существует формула В в сколемовс- кой нормальной форме, равносильная ей по доказуемости (т. е. такая, что |— А, если и только если |— В). Первопорядковая логика может быть модифицирована за счет расширения выразительных возможностей ее языка. Наиболее естественным расширением является введение отношения равенства между индивидами (тождества индивидов). Вовлечение этого отношения в сферу логического анализа оправдано тем, что оно не менее фундаментально, чем исследуемые в логике отношения присущности свойства предмету, включения класса в класс и др. Если в алфавит вводятся предметно-функциональные константы, то отношение равенства позволяет удобным образом выражать утверждения о результатах применения соответствующих функций к различным аргументам. Кроме того, использование знака данного отношения (=) обеспечивает более адекватный анализ многих естественно-языковых контекстов, напр. т. н. исключающих высказываний. Так, логическая форма высказывания «Всякий металл, кроме ртути, находится в твердом состоянии» может быть выражена с использованием предикатора равенства формулой Vx((P(jt) л-.(х = a)) =>Q(x)) A-iQ(a), где константы а, Р, Q соответствуют дескриптивным терминам «ртуть», «металл», «находится в твердом состоянии». Классическая логика предикатов с равенством строится следующим образом. Алфавит пополняется выделенной двухместной предикаторной константой равенства =. Появляется новый тип формул: t, = t2, где t, и t2 — термы. В семантике константе = в качестве значения сопоставляется множество всех пар <и, иglt;, где и — элемент универсума U (или же предметно-истинностная функция, которая ставит в соответствие значение И только парам одинаковых объектов из U). Формула t, = t2 примет значение И в некоторой модели <U, I> при распределении ф значений предметных переменных, если и только если значения термов t, и t2 в данной модели при данном распределении совпадают. Остальные семантические понятия остаются прежними. Адекватное аксиоматическое представление логики предикатов с равенством можно получить за счет присоединения дополнительных схем аксиом: схемы рефлексивности равенства Va(a=a) и схемы замены равного равным VaV?(a = ? z> (A(a) z> A(?))), где A(?) — есть результат замены некоторого числа (необязательно всех) свободных вхождений переменной a в А(а) на переменную ?, причем заменяемые вхождения не должны находиться в области действия кванторов по ?. Средствами логики предикатов с равенством может быть определен квантор, особенно часто встречающийся в математических контекстах, «существует единственный» (символически - 3!): 3! А(а) = Df 3a(A(a)AV?(A(?)=)? = а)). Язык логики предикатов первого порядка является удобным средством для строгого построения на его основе конкретных, прикладных теорий. В этом случае вместо абстрактных предметных, предикаторных и предметно-функциональных констант в алфавит вводятся конкретные термины словаря теории — имена объектов ее предметной области, знаки их свойств и отношений, знаки заданных на данной области предметных функций. Сами прикладные первопорядковые теории (их часто еше называют элементарными) строятся обычно аксиоматически. К логической части (аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов) добавляется собственная часть прикладной теории — постулаты, отражающие закономерности ее предметной области.
426
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Другое расширение стандартной логики предикатов связано с рассмотрением т. н. обобщенных кванторов (кванторов Генки на). Если в стандартной кванторной приставке любой формулы, находящейся в предваренной нормальной форме, каждый квантор содержится в области действия всех предшествующих ему кванторов, то обобщенные кванторы представляют собой кванторные комплексы, составляющие которых не обязаны более быть упорядочены отношением строгого линейного порядка. Введение обобщенных кванторов позволяет строить адекватные модели достаточно сложных фрагментов естественного языка. В первопорядковой логике предикатов, как уже говорилось, разрешается квалификация только предметных переменных, т. е. кванторы могут быть соотнесены лишь с предметами, индивидами («всякий предмет», «некоторый предмет»). Для логического анализа контекстов, в которых кванторы соотносятся также со свойствами, отношениями, функциями, необходим переход к логике второго порядка. В алфавите ее языка наряду с предикаторными константами Р", Qn, Rn, Р^,... имеются предикаторные переменные различной местности Р1, Q", /Р1, Р,п,— (в алфавит могут быть введены также и предметно-функциональные переменные/, g", /*",/[",.-•)• В атомарных формулах n(t,,t2,...,tn) на месте П могут использоваться как предикаторные константы, так и предикаторные переменные(аналогично,всложныхтермахФ(1],12,...Дп)вроли Ф может выступать теперь предметно-функциональная переменная). «Кванторные» пункты в определении формулы видоизменяются за счет разрешения использовать в формулах видов VolA и ЗаА на месте а не только предметные, но также предикаторные и предметно-функциональные (если они есть в алфавите) переменные. Средствами языка второпорядковой логики предикатов могут быть воспроизведены логические формы многих высказываний, которые нельзя выразить в первопорядковом языке (напр., «У Марса и Земли есть общие свойства» — ЗР(Р(а) л Р(Ь)), «Марс обладает всеми свойствами, присущими каждой планете» — V/\\/x(S(x) z> Рх)) z> P(a)), где константам a, b и S соответствуют термины «Марс», «Земля», «планета»). Семантически логика предикатов второго порядка строится по аналогии с первопорядковой. При распределении значений переменных предикаторным и предметно-функциональным переменным приписываются сущности тех же типов, которые сопоставляются в модели соответствующим константам. Правила установления значений термов и формул незначительно адаптируются с учетом синтаксических особенностей второпоряд- кового языка. Понятие общезначимой формулы — обычное. Синтаксическое построение логики предикатов второго порядка сталкивается с фундаментальной проблемой метатео- ретического характера — класс общезначимых формул второпорядковой логики принципиально не аксиоматизируем, не формализуем, т. е. не существует исчисления, класс теорем которого совпадал бы с классом общезначимых формул. Тем не менее в качестве второпорядкового исчисления предикатов обычно рассматривают некоторую неполную формальную систему, которая получается естественным обобщением первопорядкового исчисления. Логика предикатов второго порядка является очень богатой логической теорией. В ней, напр., может быть определен пре- дикатор равенства: а = ? = DftP(P(a) = Рф)) (это определение по своей сути повторяет лейбницевский принцип «тождественности неразличимых»: равными, тождественными объявляются объекты, обладающие одинаковыми свойствами). Один из возможных путей расширения выразительных средств логики второго порядка состоит во введении в ее язык предикаторов более высоких ступеней, «предикаторов от предикаторов». Они выражают свойства свойств или отношений, отношения между свойствами или отношениями. Так, в контексте «Отношение родства симметрично» термин «симметрично» репрезентирует свойство отношения (родства), а в контексте «Щедрость и скупость — противоположные качества» термин «противоположно» представляет отношение между свойствами (щедростью и скупостью). При указанном подходе натуральные числа 0,1,2,... могут рассматриваться как свойства свойств и определяться средствами второпорядковой логики предикатов следующим образом: 0(Р) ее u-BxPlx), ЦР) = n-BxPfx), 2(F) ^ ^xByi-TX = = УЛ Р(х) А Р(у) A \/z(P(z) ^>(Z = XVZ = y)))uT. Д. Среди неклассических систем логики предикатов следует особо выделить т. н. свободную логику — нестандартную теорию квалификации, при построении которой отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а также допускают пустоту термов. Часто неклассические исчисления предикатов строятся так, что их отличие от классического проявляется — в самой системе аксиом и правил вывода — лишь на пропозициональном уровне: вместо схем аксиом классического исчисления высказываний выбираются схемы аксиом соответствующего неклассического пропозиционального исчисления (подобным образом обычно строятся кванторные системы интуиционистской логики и минимальной, многие системы модальной логики и релевантной логики). В этом отношении специфичным является конструктивное исчисление предикатов, в котором (наряду с модификацией пропозициональной части) принимаются особые, характерные именно для кванторной теории постулаты, формализующие т. н. принцип Маркова (простейшая формулировка данного принципа такова: Vjc(P(jc) v -,P(jc)) 3 (-r^JcP(jc) => BjcP(jc)). Весьма нетривиальной и интересной с философской точки зрения оказалась проблема построения кванторных расширений модальных логик, известная также как проблема кванти- фикации в модальных контекстах. При попытке построения модальной логики предикатов возникает ряд существенных трудностей содержательного характера, на которые обратил внимание У. Куайн. Помимо известных проблем, связанных с нарушением принципа взаимозаменимости в неэкстенсиональных контекстах (а модальные контексты — один из их типов), обнаружилось, что к неожиданным результатам в модальной логике приводит применение правила введения квантора существования (знаменитый куайновский парадокс Вечерней и Утренней звезды); во многих кванторных модальных системах ряд теорем не согласуются с интуицией (к ним относятся, напр., формула Баркан 03хР(х)зЕЬс0Р(х), позволяющая заключать от возможности существования к актуальному существованию некоторого объекта, теорема VjcVj<x = у Z) их = у), означающая необходимость любого утверждения о равенстве). Но главной причиной философской ущербности модальной логики предикатов, по мнению У. Ку- айна, является реанимация в ее рамках схоластического понятия модальностей de ге (модальностей, квалифицирующих характер связи признака с предметом) и причастность этой теории эссенциализму (метафизической концепции, согласно которой предметы сами по себе — независимо от того, как они представлены в языке, — обладают некоторыми свойствами необходимо, а некоторыми случайно).
427
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ В современной модальной логике, особенно в результате разработки ее точных формальных семантик, удалось снять многие возражения У Куайна. Так, А. Смульяном была установлена необходимость учета областей действий дескрипций при замене равного равным в модальных контекстах. С. Крипке предложил способ построения богатых систем модальной логики предикатов без формулы Баркан и других парадоксальных законов. Т. Парсонс точными методами продемонстрировал непричастность данных теорий эссен- циализму показал, что можно развивать модальную логику в антиэссенииалистском ключе—с отрицанием эссенциалист- ского принципа в качестве аксиомы. Тем не менее проблема адекватной экспликации кванторных модальных контекстов языка, особенно эпистемических контекстов (утверждений о знании, мнении, вере), и по сей день остается актуальной. Особую важность для логики предикатов, как и для любой логической теории, представляет иссследование ее метатеоре- тических свойств (см. Метшмогшкш). В связи с наличием двух способов построения логических теорий — семантического и синтаксического (в виде исчислений) — возникает вопрос о соотношении класса общезначимых в семантике формул и множества теорем исчисления. Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво (корректно), т. е. каждая его теорема универсально общезначима. Наличие данного свойства обосновывается стандартным методом: демонстрируется общезначимость всех аксиом исчисления и инвариантность его правил вывода относительно свойства «быть общезначимой формулой». Более трудным оказалось доказательство семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов, т. е. того, что всякая универсально общезначимая формула является теоремой исчисления. Впервые этот результат был получен К. Геделем (1930). Позднее Л. Генкин предложил изящный (хотя и неконструктивный) метод доказательства полноты, существенно опирающийся на лемму Линденбаума (о возможности расширения любого непротиворечивого множества формул логики предикатов до непротиворечивого насыщенного множества). Еще более простой метод, использующий технику т. н. модельных множеств, был разработан Я. Хинтиккой. Наличие свойств семантической непротиворечивости и полноты у первопорядкового исчисления предикатов свидетельствует о том, что оно представляет собой адекватную формализацию семантически построенной логики предикатов, т. е. что у важнейших понятий — общезначимой формулы (закона логики) и логического следования (имеющего место между посылками и заключением в корректном рассуждении) — имеются точные синтаксические аналоги. Данное свойство, как уже было сказано ранее, отсутствует у логики предикатов второго порядка. Исчисление предикатов (как первопорядковое, так и вто- ропорядковое) обладает также свойством синтаксической непротиворечивости, т. е. не существует формулы А, такой, что |—-А и 1-г-А. Однако, в отличие от классического исчисления высказываний, исчисление предикатов не является синтаксически полным (максимальным, непополнимым), т. е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой. Синтаксическая неполнота исчисления предикатов имеет серьезное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на базе данной логической системы нетривиальных прикладных теорий за счет присоединения их собственных постулатов, не обладающих статусом логических законов. Особую важность применительно к логике предикатов имеет исследование проблемы разрешения. А. Чёрчем был получен фундаментальный результат, свидетельствующий о том, что в общем случае эта проблема не имеет решения: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы языка логики предикатов решить вопрос о том, является ли она законом данной теории, т. е. любое адекватное понятие закона логики предикатов существенным образом неэффективно, не содержит алгоритмической процедуры распознавания элементов своего объема. Тем не менее в некоторых частных случаях проблема разрешения находит свое решение. Установлено, напр., что логика предикатов разрешима относительно свойства «быть общезначимой формулой на множестве с конечным числом элементов». Алгоритм проверки формул логики предикатов на общезначимость в области, содержащей п объектов, состоит в элиминации кванторов и преобразовании данной формулы в формулу языка логики высказываний (для последнего проблема разрешения решена). При устранении кванторов общности и существования используется их связь с пропозициональными связками конъюнкции и дизъюнкции, соответственно: если а,, а^..., ап — имена всех объектов данной конечной области, то утверждение УхА(х) эквивалентно утверждению А(а,) л A(Oj) л ... л А(ап),а 3 vA(x) эквивалентно А(а,) V A(Oj) V... V А(ав). Разрешимой является т. н. логика одноместных предикатов — фрагмент логики предикатов, формулы которого не содержат предикаггорных констант местности большей 1. Можно показать, что любая подобная формула с к предикаторными константами универсально общезначима тогда и только тогда, когда она общезначима во всех конечных областях не более чем с 2* элементами (а этот вопрос, как уже было сказано, может быть решен эффективным образом). Разрешающая процедура имеется также для некоторых типов формул, приведенных к предваренной нормальной форме. Напр., вопрос об универсальной общезначимости формул с кванторной приставкой 3 а, 3 о^... 3 ап может быть сведен к вопросу о ее общезначимости на одноэлементном множестве, подобный вопрос о формулах с приставками Vo^Vo^... VanH VOjVOj... Van3?,3f^,... 3?n сводится к вопросу об общезначимости на множестве из п элементов. Создание логики предикатов связано с именами Г, Фреге, Б. Ршсселт и А УЫмхедш, Современные формулировки клас- сическогопервопорядковогоисчисленияпредикатовиегоде- тальный анализ был осуществлен Д Гтмбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом. Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики лотки предикатовсыграли работы А Терского. Значительный вклад в установление метатеоретическихсвойствлогики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гсдель, А Чёр% Ж. Эрб- ран, Л. Генкин. Серьезные научные результаты в данной области были получены также П Геяцешом, Л. Кальмаром, С Кмиаац В. Крейгом, У. Дротом, А А Мшрковъш, А. И. Мальцевым, Я. С Новшковылц К А Смяршшыщ К. Шютге и многими другими исследователями. Лп: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Предикатов исчисление (Ееенин-Вояышн А. С.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 4. М., 1967; Киши С. К. Введение в метаматематику М, 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику М, 1976; Новиков П. С. Элементы математической логики. М.
428
ЛОГАКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ 1973; Смирнов A А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; A philosophical companion to first-order logic, ed. R. I. G. Hughe, 1993; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879—1931, Harvard University Press, 1967; SmuUyon Я M. First-order Logic. N. Y, 1968. A Я. Маркин
ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ— математическая логика, теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислении на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880. Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в 17 в. L Летающем. Однако только к сер. 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, необычайные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа^ родоначальником которой можно считать А. де Моргана (Augustus de Morgan, 1806—71 ), который в 1847 опубликовал книгу «Formal logic; or the calculus of inference, necessary and probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля (1815—64). В 1847 он публикует брошюру «Mathematical analaysis of logic», а в 1854 опубликовал свой главный труд по логике «An Investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 можно считать началом алгебры логшкш, первоначальный этап развития которой был завершен Е. Шредером в трехтомной монографии «\brlesungugen uber die Algebra der Logik (1890-1905)». С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге (1848—1925) и ?. С. Пар- са (1839—1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begrinsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика аредалааюш). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день. Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеаао (1858—1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathematiques», опубликованный в 1894—1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А И. УЫтиедоми R Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematjca» (1910—1913), а затем воспринята Д Гшлбертюж Т. о., был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания ~, конъюнкции &, дизъюнкции V, импликации Z) , кванторов всеобщности V и существования 3. Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 а возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами. Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Т. о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V). Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логшческшм) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логшшшзм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), шнтушштоишзм (нужна новая логика), теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теориимножеств2Р(вводятсяофаничениянаобразованиемно- жеств) (см. Множеств теоршя)
429
ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ берта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т. е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используятолькофинитныеметоды (см. Финитизм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т. о. решить проблему оснований математики. Однако результат К. Геделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т. е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Гениеном (1936). Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча—Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой. Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии к «Handbook of mathematical logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD- 1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются ч- астью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики, Философская логика). Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Геделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т. е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т. е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Геделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т. е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен! Поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика? Дело в том, что в отличие от математики рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик (см., напр., Интуиционистская логика, Многозначные логики, Паранепроти- воречивая логика). Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в возможных миров семантике в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов. Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат 21 веку. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic». Лит.: Математическая логика (Адян С. И.). — В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1912; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики: М., 1979; Они же. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982;
430
логицизм Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М, 1979; Клипы С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Колмогоров А. Н, ДрагалинА. Г. Введение в математическую логику. М, 1982; Колмогоров А. Я., ДрагалинА. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М.. 1984; Марков А. А. Элементы математической логики. М.. 1984; Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. М., 1984; Непейвода H. H Прикладная логика. Ижевск, 1997; Новиков П. С. Элементы математической логики, 2-е изд. М., 1973; Справочная книга по математической логике, т. 1—4. М., 1982—83; Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; Bochenski J. A history of fonnal logic, 2d. ed. Chelsea, 1970; Church A. A bibliography of symbolic logic. Providence, 1938; Copi I. M. Symbolic logic, 5th ed. Prentice Hall, 1979; From Dedkind to Godel: Essys on the development of the foundations of mathematics, Ed. J. Hintikka. Dordrecht, 1995; Klenk V. Understanding symbolic logic. 3rd ed., 1994; MostowskiA. Thirty years of foundational studies. Oxf., 1966. А. С. Карпенко
ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ- см. Логика. «ЛОГИКА ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ» - понятие и термин, введенные И. Кантом в «Критике чистого разума» для обозначения «науки о чистом, происходящем из рассудка и разума, знании, посредством которого предметы мыслятся вполне a priori» и определяющей происхождение, объем и объективное значение подобных знаний. В кантовской классификации логик трансцендентальная логика—это по существу частная логика для метафизики. В «Критике чистого разума» трансцендентальная логика делится на трансцендентальную аналитику и трансцендентальную диалектику. Первая — это «логика истины». Она представляет собой теорию понятий (категорий) и суждений (основоположений чистого рассудка), которые описывают структуры чистого знания, его принципы и способы применения этих структур к предметам опыта. Материал для построения новой — трансцендентальной — логики у Канта дает уже существующая и, по его мнению, завершенная наука чистого разума — общая логика, классификация суждений которой (с некоторыми модификациями, напр., введением бесконечных суждений) используется в роли образца для формирования системы категорий. Трансцендентальная аналитика описывает систему категорий и условия применения их к предметам опыта. Трансцендентальная аналитика рассматривает чистые понятия как функции синтеза многообразия чистого априорного созерцания. Из этого вытекает их связь с априорными условиями опыта и невозможность их применения за пределами опыта. Вторая часть трансцендентальной аналитики — аналитика основоположений — содержит правила объективного (т. е. не выводящего за пределы возможного опыта) применения категорий. Основоположения являются описанием априорной структуры возможного опыта, с которой должно согласовываться любое эмпирическое суждение, претендующее на истину (напр., закон физики или биологии). Трансцендентальная диалектика есть логика трансцендентальной иллюзии, т. е. иллюзии необходимым образом возникающей в ходе деятельности разума. Такие иллюзии порождаются разумом, если его принципы, которые относятся только к понятиям рассудка, применяются непосредственно к предметам. Напр., необходимость поиска условий для каждого обусловленного превращается в необходимость существования безусловного. Тогда возникают трансцендентные основоположения и трансцендентальные идеи, с необходимостью влекущие нас за пределы возможного опыта. Всего таких идей три: психологическая идея (душа), космологическая идея (мир), теологическая идея (Бог). Однако эти идеи, выводя разум за пределы опыта, порождают диалектические (т. е. ошибочные) умозаключения: трансцендентальные паралогизмы, антиномии космологической идеи и идеал чистого разума (В 398). Однако трансцендентальные идеи имеют и «превосходное» регулятивное применение как основания для синтеза понятий рассудка, приводящие к расширению и единству знания. В таком случае трансцендентальные идеи рассматриваются как эвристические принципы и могут плодотворно применяться в науке в виде принципов однородности, спецификации и сродства форм. Трансцендентальная аналитика является каноном оценки эмпирического применения рассудка и способности суждения, трансцендентальная диалектика есть дисциплина чистого разума в его теоретическом применении. После Канта трансцендентальная логика развивалась в немецком идеализме (Фихте, Гегель) как альтернатива формальной логике, включающая (в отличие от кантовского подхода) принципы, противоречащие принципам формальной логики (напр., утверждение противоречия). В неокантианстве (марбургская школа) трансцендентальная диалектика развивалась в русле, более близком к кантовскому замыслу. В 20 в. Э. Гуссерль пытался развить трансцендентальную логику как учение о последних, глубочайших и универсальнейших принципах и нормах всей науки. В настоящее время предпринимаются попытки интерпретировать трансцендентальную логику как вид логики, взаимодействующей с аппаратом формальной логики при построении логических выводов (трансцендентальной дедукции). Лит.: Кант И. Критика чистого разума.— Соч. б 6 т., т. 3. М., 1964; Husserl Е. Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Venunft.— Gesammelte Schriften. Hrcg. von Elisabeth Stroeker, Bd. 7, Hamb., 1992; Stulman-Laeisz R. Kants Logik: Eine Interpretation auf der Grundlage von \fariesungen, veroffentlichten Werken und Nachla?, B.-N. Y, 1976: Reich K. Die Vollstandigkeit der Kantischen Urteilstafel, 3 Aufl., Hamb., 1986: Baum M. Deduktion und Beweis in Kants Transzendentalphilosophie: Untersuchungen zur«Kritikderreinen\fernunft». Konigstein/Ts., 1986; Kants transzendentale Deduktion und die Moglichkeit von Transzendentalphilosop hie. Fr./M., 1988; Tonelli G. Kant's critique of pure reason within the tradition of modern logic. A Commentary on its History. Hildesheim, 1994; Bryushinkin V. The Interaction of Fonnal and Transcendental Logic— Proceedings of the Eighth International Kant Congress. Memphis, 1995, p. 553— 566. B. H. Брюшинкин
ЛОГИКА ФОРМАЛЬНАЯ- см. Логика.
ЛОГИЦИЗМ— одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основополагающим фактором в становлении философии логицизма явилось развитие на рубеже 19—20 вв. логики символической, которую логицизм рассматривает, как органон математики, а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г. Фреге первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее использовались в дальнейшем. По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм все больше сближается с формализмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое на-
431
логицизм правление. И все же отметим принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абатршхлвшш о&вои и понятия — не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, а для платониста математические понятия уже существуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия — плод мощных и фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится. Логицизм конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений — принадлежности элемента классу «g », применения функции к аргументу именования и «часть—целое». За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении «Е » и свободной от парадоксов, взялись УЫмхеди его ученик К Рассел, написавшие энциклопедический и скрупулезный труд. Этот труд до сих пор остается непревзойденным в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований. Во-первых, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества — объектами первого типа, а множества объектов п-го типа — объектами п + 1 -го типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности teu — тип объекта /должен быть на 1 меньше типа объекта и. Эта концепция строгой типизации была затем использована в Х-исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: X'. При таком ограничении языка принцип свертки BY^'Vx^x g Y <=> А(х)), введенный Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввел польский логик Л. Хвистек в 1921. Далее, они заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности: Vxy(x = y « VZ*'(xe Z <=> ye Z)). Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно: VXi+,YI+,(x = y <=> VzTzeX » zeY)). Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук. Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в А, приводит к изменению объема Y**1. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вешмъ, верхняя грань множества действительных чисел порядка к может быть порядка к +1. К* Гёдель показал, что для некоторого ординала а совокупность множеств порядка а образует модель аксиомы свертки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка п существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф. П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид t*e Х^, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов. Линия логицизма была продолжена X Драпом, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие х = х, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NE При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа п быть членами множеств типа п + 1 и п + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории. Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н. Н. Не- пейвода). Т. о., NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категория всех категорий. Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились Х-исчисление и комбтилторша ло- гшка. Их идея — построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции Ах. Kapp* показал, что добавление импликации к неограниченному Х-исчислению приводит к противоречию, но ^.-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и
432
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта — бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы Х-исчисленпя с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей. Л. Хвистек и С Леамжкшт развивали другие логические основания для общей теории. Теория именования (онтологии) имеет следующий исходный принцип: VxX(x€ ХоЗу(у€ xAVyz(ye x&z€ х=>уе z)& Vy(ye x=>ye X))). Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система- ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующаяся на соотношении «часть—целое». Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому. Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер. П. Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования. Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией Vx(P,&...&Pn => Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации Vx(Vy(P => Q) => Vy(P, => Q,)) и операторы из условий в умения соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т. д. Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня. Лип: Логицизм (Яновская С. А).— В кн.: Философская энциклопедия, т 3. M 1964; Whitehead I, Russell В. Principia Mathematics Oxf., 1910—13; Chwistek L Antynomie logQd fonralnej.— «Przegland FHozofiki», x. 20,1921; Ramsey F. P. The foundations of mathematics and other logical essays. N. Y-L, 1931; Quit* W. v. O. Mathematical Logic. Cambr. (Mass.), 1951; Lesniewski S. Ober die Grundlagen der Ontologie.— Comptes Rendus de \brsoive, v. 23, 1930; Chwistek L Neue Grundlagen der Logik und Mathematik.- «Mathematische Zeitschrift», v 30,1929, p. 704-724; x 34, 1932, p. 527-534; Chwistek L Granice nanti. Lwow-Warszawa, 1935. H. H. Непейвода