Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта

Братко Иван

Baase S. (1978). Computer Algorithms. Addison-Wesley.

Gonnet G. H. (1984). Handbook of Algorithms and Data Structures. Addison-Wesley.

Глава 10

Усовершенствованные методы представления множеств деревьями

В данной главе мы рассмотрим усовершенствованные методы представления множеств при помощи деревьев. Основная идея состоит в том, чтобы поддерживать сбалансированности или приближенную сбалансированность дерева, с тем чтобы избежать вырождения его в список. Механизмы балансировки деревьев гарантируют, даже в худшем случае, относительно быстрый доступ к элементам данных, хранящихся в дереве, при логарифмическом порядке времени доступа. В этой главе изложено два таких механизма: двоично-троичные (кратко, 2-3)

деревья и AVL-деревья. (Для изучения остальных глав понимание данной главы не обязательно.)

10.1. Двоично-троичные справочники

Двоичное дерево называют хорошо сбалансированным, если оба его поддерева имеют примерно одинаковую глубину (или размер) и сами сбалансированы. Глубина сбалансированного дерева приближенно равна log n, где n — число вершин дерева. Время, необходимое для вычислений, производимых отношениями

внутри

,

добавить

и

удалить

над двоичными справочниками, пропорционально глубине дерева. Таким образом, в случае двоичных справочников это время имеет порядок log n. Логарифмический рост сложности алгоритма, проверяющего принадлежность элемента множеству, — это определенное достижение по сравнению со списковым представлением, поскольку в последнем случае мы имеем линейный рост сложности с ростом размера множества. Однако плохая сбалансированность дерева ведет к деградации производительности алгоритмов, работающие со справочником. В крайнем случае, двоичный справочник вырождается в список, как показано на рис. 10.1. Форма справочника зависит от той последовательности, а которой в всего записываются элементы данных. В лучшей случае мы получаем хорошую балансировку и производительность порядка log n, а в худшем — производительность будет порядка n. Анализ показывает, что в среднем сложность алгоритмов

внутри

,

добавить

и

удалить

сохраняет порядок log n в допущении, что все возможные входные последовательности равновероятны. Таким образом, средняя производительность, к счастью, оказывается ближе к лучшему случаю, чек к худшему. Существует, однако, несколько довольно простых механизмов, которые поддерживают хорошую сбалансированность дерева, вне зависимости от входной последовательности, формирующей дерево. Эти механизмы гарантируют производительность алгоритмов

внутри

,

добавить

и

удалить

порядка log n даже в худшем случае. Один из этих механизмов - двоично-троичные деревья (кратко, 2-3 деревья), а другой — AVL-деревья.

Рис. 10.1. Полностью разбалансированный двоичный справочник. Производительность его та же, что и у списка.

2-3 дерево определяется следующим образом: оно или пусто, или состоит из единственной вершины, или удовлетворяет следующим условиям:

• каждая внутренняя вершина имеет две или три дочерних вершины, и

• все листья дерева находятся на одном и том же уровне.

Двоично-троичным (2-3) справочником называется 2-3 дерево, все элементы данных которого хранятся в листьях и упорядочены слева направо. На рис. 10.2 показан пример. Внутренние вершины содержат метки, равные минимальным элементам тех или иных своих поддеревьев, в соответствии со следующими правилами:

• если внутренняя вершина имеет два поддерева, то она содержит минимальный элемент второго из них;

• если внутренняя вершина имеет три поддерева, то она содержит минимальные элементы второго и третьего поддеревьев.

Рис. 10.2. 2-3 справочник. Отмеченный путь показывает процесс поиска элемента 10.

При поиске элемента X в 2-3 справочнике мы начинаем с корня и двигаемся в направлении самого нижнего уровня, руководствуясь при этом метками внутренних вершин дерева. Пусть корень содержит метки M1 и M2, тогда

• если X < M1, то поиск продолжается в левом поддереве, иначе

• если X < M2,

то поиск продолжается в среднем поддереве, иначе —

• в правом поддереве.

Если в корне находится только одна метка М, то переходим к левому поддереву при X < M и к правому поддереву — в противоположном случае. Продолжаем применять сформулированные выше правила, пока не окажемся на самом нижнем уровне дерева, где и выяснится, найден ли элемент X, или же поиск потерпел неудачу.

Так как все листья 2-3 дерева находятся на одном и том же уровне, 2-3 дерево идеально сбалансировано с точки зрения глубины составляющих его поддеревьев. Все пути от корня до листа, которые мы проходим при поиске, имеют одну и ту же длину порядка log n, где n — число элементов, хранящихся в дереве.

При добавлении нового элемента данных 2-3 дерево может расти не только в глубину, но и в ширину. Каждая внутренняя вершина, имеющая два поддерева, может приобрести новое поддерево, что приводит к росту вширь. Если же, с другой стороны, у вершины уже есть три поддерева, и она должна принять еще одно, то она расщепляется на две вершины, каждая из которых берет на себя по два из имеющихся четырех поддеревьев. Образовавшаяся при этом новая вершина передается вверх по дереву для присоединения к одной из выше расположенных вершин. Если же эта ситуация возникает на самом высоком уровне, то дерево вынуждено "вырасти" на один уровень вверх. Рис. 10.3 иллюстрирует описанный принцип.

Рис. 10.3. Вставление нового элемента в 2-3 справочник. Дерево растет сначала вширь, а затем уже вглубь.

Включение нового элемента в 2-3 справочник мы запрограммируем как отношение

доб23( Дер, X, НовДер)

где дерево

НовДер

получено введением элемента

X

в дерево

Дер

. Основную работу мы поручим двум дополнительным отношениям, которые мы назовем

встав

. Первое из них имеет три аргумента:

встав( Дер, X, НовДер).

Здесь

НовДер

 — результат вставления элемента

X

в

Дер

. Деревья

Дер

и

НовДер

имеют одну и ту же глубину. Разумеется, не всегда возможно сохранить ту же глубину дерева. Поэтому существует еще одно отношение с пятью аргументами специально для этого случая:

встав( Дер, X, НДа, Mб, НДб).

Имеется в виду, что при вставления

X

в

Дер

дерево

Дер

разбивается на два дерева

НДа

и

НДб

, имеющих ту же глубину, что и

Дер

.

Мб

 — это минимальный элемент из

НДб

. Пример показан на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Объекты, показанные на рисунке, удовлетворяют отношению

встав( Дер, 6, НДа, Мб, НДб)

.

2-3 деревья мы будем представлять в программе следующим образом:

• 

nil

представляет пустое дерево;

• 

л( X)

представляет дерево, состоящее из одной вершины — листа с элементом X;

• 

в2( Д1, М, Д2)

представляет дерево с двумя поддеревьями Д1 и Д2; M — минимальный элемент из Д2;

• 

в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3)

представляет дерево с тремя поддеревьями Д1, Д2 и Д3; M2 — минимальный элемент из Д2; М3 — минимальный элемент из Д3; Д1, Д2 и Д3 — 2-3 деревья.

Между

доб23

и

встав

существует следующая связь: если после вставления нового элемента дерево не "вырастает", то

доб23( Дер, X, НовДер) :-

 встав( Дер, X, НовДер).

Однако если после вставления элемента глубина дерева увеличивается, то

встав

порождает два поддерева Д1 и Д2, а затем составляет из них дерево большей глубины: