Пуанкаре

Шибанов Анатолий Сергеевич

За двадцать лет до этого английским математиком Дж. Дж. Сильвестром впервые были введены в науку понятие и термин «инвариант». В последующие годы теория инвариантов и ее применение к алгебраическим проблемам усиленно разрабатывались в Англии им самим и его другом А. Кэли, а во Франции — Ш. Эрмитом. В своих письмах Эрмит не раз шутливо называл себя и своих английских коллег «троицей инвариантов». Клейн положил понятие инварианта наряду с понятием группы в основу своих геометрических изысканий.

Кратко суть «Эрлангенской программы» заключается в том, что любая геометрия объявляется учением о свойствах фигур, инвариантных, то есть неизменных, при некоторых однотипных преобразованиях, совокупность которых образует группу. Каждому типу преобразований соответствует своя геометрия. Например, элементарная евклидова геометрия изучает свойства фигур, которые не зависят

от их положения в пространстве. Две фигуры в этой геометрии считаются одинаковыми, если, двигая одну фигуру, можно точно совместить ее с другой. Группа преобразований, соответствующая евклидовой геометрии, составлена из различных движений, перемещений в пространстве. В проективной геометрии фигуры одинаковы, если можно одну из них спроектировать конусом световых лучей на другую так, что они полностью совпадут. Так совпадает с диском луны монета, которую мы держим в вытянутой руке. В этой геометрии любые треугольники считаются одинаковыми, так как всегда можно найти такой угол зрения, под которым эти треугольники точно совместятся. Точно так же одинаковыми принимаются любая окружность и любой эллипс. Множество всех мыслимых проекций, образованных расходящимся из точки пучком лучей, — такова группа проективной геометрии. Различные геометрии отличаются друг от друга тем, какие фигуры в них получаются одинаковыми, инвариантными, при дозволенных в этих геометриях преобразованиях. Геометрия становится теорией инвариантов некоторой группы преобразований.

Этим результатам Клейна потому уделено внимание в нашей книге, что инвариантно-групповой подход стал сквозной идеей в творчестве Пуанкаре, подведя его вплотную к приложению идей «Эрлангенской программы» в механике и физике. Не раз еще, рассматривая его труды, мы встретимся с этими терминами — группа и инвариант. Глубоко усвоив достоинства групповых методов и живо восприняв идею инвариантов, Пуанкаре одним из первых возвестил о новом теоретико-инвариантном подходе в точном естествознании.

Когда в 1880 году Феликс Клейн возглавил в Лейпциге университетскую кафедру геометрии, его внимание и внимание его учеников было приковано к функциям, инвариантным относительно некоторых общих преобразований переменной величины. Поэтому он не мог не заметить первых статей Пуанкаре по фуксовым функциям. Ознакомившись с ними, он сразу же осознает важность выдвигаемых там идей. Даже среди математиков Клейн был одним из немногих, кто по-настоящему глубоко мог проникнуть в работы молодого французского математика и дать им оценку, основанную на подлинном понимании. Ведь, как и Фукс, он со. своей школой занимается теми же проблемами, и понятие новой функции ему уже знакомо.

Клейн был поражен тем, как быстро овладел никому не известный еще, начинающий математик всеми позициями в этом вопросе. С некоторым беспокойством следит он за стремительными действиями молодого Бонапарта от математики. Ему просто не верится, что Пуанкаре охватил столь огромную проблему сразу во всей ее общности, в то время как сам он ограничивался до сих пор рассмотрением отдельных, специальных случаев. И вот после появления третьей заметки Пуанкаре он, весьма заинтригованный, пишет молодому автору письмо, датированное 12 июня 1881 года. Между двумя учеными завязывается переписка, в которой они обменялись 26 письмами. Тон переписки установился сам собою: Клейн на пять лет старше Пуанкаре и уже завоевал авторитет и известность в международных математических кругах, поэтому Анри выступает в роли молодого ученого, почти ученика, дружелюбно, но с подчеркнутой почтительностью беседующего с ведущим математиком, который, в свою очередь, весьма тактично и благожелательно восполняет порой пробелы в его математической эрудиции.

«Монсеньор, ваше письмо доказывает мне, что вы заметили раньше меня кое-какие результаты, которые я получил в теории фуксовых функций, — отвечает Пуанкаре на первое письмо из Лейпцига. — Я этому нисколько не удивился, так как знаю, насколько вы преуспели в познании неевклидовой геометрии, являющейся настоящим ключом к задаче, которая нас занимает. Я воздам вам должное в этом отношении, когда опубликую мои результаты…»

Но озадачивает Пуанкаре та оппозиция, которую он встретил со стороны немецкого коллеги в вопросе о названии новых функций. Клейн категорически против его предложения называть их фуксовыми. Он считает, что у Фукса слишком мало достижений в этой области математики. «…Я не оспариваю ту большую пользу, которую господин Фукс принес другим частям теории дифференциальных уравнений, — пишет Клейн в одном из своих писем, — но именно здесь его

работы вызывают большое недоумение тем, что единственный раз, когда в одном из писем к Эрмиту он высказался об эллиптических модулярных функциях, проскальзывает фундаментальная ошибка, которую Дедекинд критиковал впоследствии слишком осторожно…» Клегн не склонен принижать значение ошибок Фукса, которые не позволили ему достичь правильных конечных результатов. Пуанкаре более великодушен, и в своем великодушии он не терпит компромиссов. «Что же касается названия этих фуксовых функций, — отвечает он, в свою очередь, Клейну, — я его не изменю. Уважение, которое я испытываю к господину Фуксу, мне это не позволит. К тому же, хотя и верно, что точка зрения ученого-геометра из Гейдельберга полностью отлична от вашей и моей, все же его работы определенно послужили исходной точкой и основанием всему тому, что делалось в этой теории…»

Дискуссия по поводу названия продолжается и в 1882 году. Пуанкаре, пытаясь убедить Клейна и научную общественность, аргументирует свою точку зрения. В письме от 30 марта 1882 года он пишет в Лейпциг; «…Вы были столь добры, что поместили в „Математических анналах“ мою работу об однозначных функциях, которые происходят из линейных подстановок, и сопроводили ее своим замечанием, излагая причины, по которым вы находите малоподходящими имена, данные мною этим трансцендентностям. Позвольте мне адресовать вам несколько строк, чтобы защитить мои названия, которые я выбрал не случайно…» Тон письма вежливый, но достаточно твердый. «Ученик» демонстрирует не строптивость, а упорство в отстаивании своей позиции, даже не научной, скорее нравственной. Если бы Алина Бугру видела своего брата, пишущего эти строки, она только по выражению его лица, по особому помаргиванию его глаз сразу догадалась бы, что им овладела стихия сопротивления. Так с ним случалось и в детстве. Покладистый и сговорчивый, когда дело касалось мелочей, Анри проявлял невиданное упорство, если затрагивались принципиальные вопросы, в которых он чувствовал себя правым. Но сопротивлялся он молча, пассивно, без бурного проявления своего негодования, без эмоциональных взрывов. Только хорошо знавшие его люди замечали по некоторым едва уловимым внешним признакам, что Анри чем-то недоволен и не намерен уступать.

Видимо, под влиянием этой дискуссии Пуанкаре счел необходимым в одной из своих больших статей по фуксовым группам, опубликованной в том же 1882 году, вставить пояснение: хотя группы, изученные Фуксом, «не выходят за рамки уже известных, все же чтение именно этого замечательного мемуара побудило меня к моим первым исследованиям и позволило найти закон образования фуксовых групп и дать ему строгое доказательство». По мнению Пуанкаре, даже побудительный мотив заслуживает того, чтобы его увековечить. Что ж, быть может, это действительно спорная позиция, но, безусловно, проистекающая из лучших, благородных побуждений.

Соревнование умов

Чем сильнее и ярче индивидуальность человека, тем труднее склонить его к согласию с другой сильной индивидуальностью. Каждый из них хочет идти своим путем, каждого могут убедить аргументы только особого, индивидуального характера. Но разногласия по поводу названия новых функций, конечно же, далеко не главное в переписке Пуанкаре с Клейном. Основное внимание они уделяют вопросам построения этих периодических трансцендентностей. Клейн отметил, что возможны еще более общие функции такого рода, если в дробно-линейных преобразованиях переменной величины, oт которой зависит функция, использовать не вещественные, а произвольные коэффициенты. Возникла задача построения этих функций наряду с фуксовыми и соответствующих им групп преобразований.

Поскольку интересы обоих ученых устремлены в одном направлении, в их отношения невольно проникает дух благожелательного научного соперничества. По своему творческому складу Клейн резко отличался от Пуанкаре. Судьба столкнула в научном противоборстве искрометного французского Моцарта и обстоятельного немецкого Сальери. Клейн предпочитал двигаться вперед постепенно, шаг за шагом, не пропуская ни единой промежуточной ступени. Не будь Пуанкаре, он развил бы этот раздел математики, последовательно переходя от одних частных видов функций к другим, более общим, от одной стадии обобщения к другой, более глубокой. Браться за решение задачи сразу во всей ее общности было несвойственно его творческому методу. Но быстрый и подвижный ум Пуанкаре навязывал ему совсем иной стиль работы. Не принять его правил игры — значило безнадежно отстать, попросту проиграть. И Клейну пришлось работать в совершенно несвойственной ему манере.