Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Арройо Эдуардо

Для этого он использовал комплексную сеть, в которой узлы были компаниями или индивидами, а связи между узлами устанавливались в зависимости от процентного соотношения владения. Глаттфельдер выяснил, что 43 тысячи проанализированных компаний контролируются одним процентом членов общества, образуя взаимосвязанную и нестабильную сеть.

В 2001 году Джинестра Бьянкони, будучи еще аспиранткой Университета Нотр-Дам, поняла, что существуют идеальные параллели между комплексными сетями и конденсатами Бозе — Эйнштейна. Если представить узлы сети в качестве вариантов доступной энергии, а связи между ними — в качестве частиц, становится очевидно, что сеть ведет себя как бозонный газ при низкой температуре: частицы стремятся к состояниям с более низкой энергией. Этот эффект проявляется во всех типах сетей, как социальных, так и экономических. Например,

в случае с интернетом и рынком существует эффект, называемый преимуществом первого пользователя, при котором первая компания, создающая некоторый тип продукта, или первые пользователи социальной сети получают наибольшее количество преимуществ. Это также соответствует нашей модели, в которой этих первых пользователей можно считать состояниями низкой энергии системы, что создает скопление частиц или появление связей между ними. Пользуясь этой моделью, можно объяснить различные вещи: от структуры друзей в социальных сетях до связи между ссылками на сайты.

Статистические суммы

Изучение газовой динамики подтолкнуло создание других математических инструментов, имеющих большое значение для изучения любого типа систем. Пример этому — так называемые статистические суммы газа. Для того чтобы понять, что такое статистическая сумма, сначала мы должны остановиться на некоторых тонкостях микро- и макросостояний.

Вспомним, что число микросостояний, совместимых с макросостоянием, задано различными комбинациями энергии, которую могут иметь молекулы. Как только мы получили это значение, можно задать вопрос, каково распределение энергии, которая дает наибольшую вероятность, то есть какое из макросостояний наиболее вероятно. В конце концов мы обнаружим, что скорости частиц должны быть распределены определенным образом, как было показано ранее.

Исходя из распределения скоростей, можно сделать вывод, что число частиц с определенным уровнем энергии при увеличении энергии уменьшается. Значит, можно создать математический объект, который бы кодифицировал все возможности получения каждого значения энергии. Этот объект называется статистической суммой и выражается также с помощью экспоненциальной функции. Если энергия частицы i равна Е_i, то статистическая сумма Z равна:

Каждый член статистической суммы пропорционален вероятности найти частицу с такой энергией, таким образом, статистическая сумма кодифицирует всю информацию о нашей системе. Благодаря этому мы можем использовать ее для интересующих нас расчетов: например, общей энергии или вероятности нахождения газа в состоянии, отличном от наиболее вероятного.

Газ не имеет памяти

Важное свойство статистической суммы заключается в том, что ее состояние не зависит от прошлого. Газ не помнит того, что случилось две секунды назад, и его изменение абсолютно не зависит от этого — это известно как Марковское свойство, и им обладает любая система, которую можно описать с помощью статистической суммы.

То, что газ обладает Марковским свойством, означает, что как только он придет в состояние равновесия, будет невозможно узнать, каким образом он в него пришел: информация, касающаяся прошлого газа, исчезнет. Два газа одного вещества одной и той же температуры, давления и объема неотличимы, даже если один пришел к этому состоянию с помощью заморозки, а другой — путем разогрева. В других классических системах, таких как бильярдные шары, Марковское свойство не соблюдается: всегда можно восстановить последовательность. В случае с газом теоретически это также можно было бы сделать, но на практике поведение этого состояния материи непредсказуемо.

Марковское свойство довольно полезно в некоторых областях, например в таких как искусственный интеллект, когда необходимо добиться того, чтобы компьютер рассуждал, словно человек, а это обязывает программиста допустить в рассуждениях машины определенную степень случайности. Один из способов сделать это — взять законы логики и применить их для получения вероятностного

поведения (такой способ называется логической сетью Маркова).

Пример логического закона — это принцип транзитивности: если А предполагает В, а В предполагает С, то А предполагает С. Однако в логике нет места неопределенности: А либо истинно, либо ложно, но оно не может быть истинным частично. Программа искусственного интеллекта должна уметь управлять неопределенностью, а для этого ей нужно адаптировать законы логики к вероятности. Например, у А может быть только одна вероятность быть истинным. Кроме того, А может предполагать В только иногда, и то же самое может происходить с С. Тогда мы получим, например, такую логическую цепочку: если А обычно предполагает В, а В иногда предполагает С, то А иногда предполагает С. Этот тип вероятностных систем может быть описан с помощью статистических сумм, похожих на те, что мы вывели для газов.

И вновь идея, рожденная в лоне физики, была адаптирована математиками и использована для функций, очень мало связанных с исходным предназначением. Для решения практической задачи был найден математический инструмент, который, оказывается, может служить гораздо более широким целям, чем предполагалось вначале.

В следующей главе будет рассмотрен потрясающей пример этого явления: как понятие энтропии, изначально введенное для изучения работы паровой машины, стало использоваться для разработки математической теории информации.

Глава 4

Информация и хаос

Изучение газовой динамики началось не с теории атома, а развивалось независимо в течение нескольких десятилетий, пока Больцману не удалось соединить механику, изучавшую движение частиц, с термодинамикой, которая занимается такими явлениями, как тепло и температура.

До этих пор законы, управлявшие газами, открывались эмпирически. Например, было известно, что давление газа в сосуде увеличивается с ростом температуры. Было также известно о соответствии между теплом и энергией: можно увеличить температуру жидкости, поставив ее на огонь или даже просто помешивая жидкость палочкой. Значит, тепло — это другая форма энергии.

Связь между теплом и энергией сделала возможным появление двигателей, то есть машин, которые превращают тепло в энергию механически с помощью расширения и сжатия газов. В автомобиле бензин сжигается, чтобы привести машину в движение. Энергия, хранящаяся в топливе, превращается в кинетическую энергию автомобиля. Вскоре было открыто, что превращение тепла в механическую энергию несовершенно, потому что всегда связано с потерями энергии. В целом при трансформации энергии одного типа в энергию другого типа в итоге получается немного меньше полезной энергии, чем в начале процесса. Это довольно нежелательная ситуация, поскольку двигатель, теряющий часть энергии, требует больше топлива, а топливо дорогое, так что инженеры искали способ создания более эффективных двигателей с нулевыми потерями энергии. Но эта цель так и не была достигнута.

* * *

ЦИКЛ КАРНО

Первая формулировка второго закона термодинамики принадлежит Николя Леонару Сади Карно (1796–1832) — французскому инженеру, который занимался изучением эффективности паровых машин. Карно сосредоточился на идеальной машине, или машине Карно, в которой источник тепла нагревает газ, газ расширяется и выполняет работу, чтобы затем снова сжаться при контакте с источником холода.

Карно открыл, что эффективность его машины ограничена разницей температур, создаваемых этими двумя источниками; он доказал также, что его идеальная машина — наиболее эффективная из возможных, но на практике любая машина будет менее эффективной. Это стало первой формулировкой второго принципа термодинамики, что в итоге привело к появлению понятия энтропии.