Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
Шрифт:
Особый интерес вызывает такое четырехмерное тело, как гиперкуб. Поскольку это идеальный многогранник, вычислить его гиперобъем и даже представить его проекцию в трехмерном пространстве довольно просто.
Куб — это фигура, стороны которой равны и перпендикулярны друг другу. Пользуясь этим определением, мы можем заметить, что квадрат — это двумерный куб. Площадь квадрата, или двумерного куба, то есть его двумерный объем, вычисляется умножением длин его сторон.
В трехмерном пространстве объем куба также вычисляется умножением длин трех его сторон. Следовательно, в четырех измерениях нужно перемножить длины четырех его сторон. То есть гиперобъем гиперкуба со стороной два метра равен:
2·2·2·2 = 16 м4.
Можно
Обратите внимание на то, как мы получили эту фигуру: сначала мы нарисовали два квадрата, то есть кубы в двух измерениях, и соединили их вершины. Результат — изображение трехмерного куба в перспективе. Как видите, мы изобразили на двумерном листе бумаги фигуру, существующую в пространстве, количество измерений которого на единицу больше, чем два.
Мы можем использовать этот же прием для того, чтобы нарисовать четырехмерный куб. Для этого нарисуем два трехмерных куба следующим образом.
Затем соединим все вершины и получим изображение четырехмерного куба, или гиперкуба, в перспективе.
Двумерная проекция гиперкуба.
* * *
СКОЛЬКО ГРАНЕЙ У ГИПЕРКУБА
Сначала нужно определить, что мы называем гранью. Если мы говорим о квадрате, является ли гранью каждая из его сторон? Или речь идет о его площади? Если речь идет о площади, то на самом деле мы задаемся вопросом, сколько квадратов — или двумерных кубов — есть в квадрате. Очевидно, что у квадрата только одна грань, образованная двумерным кубом.
Итак, мы хотим узнать, сколько граней, или двумерных кубов, содержится в четырехмерном кубе. Мы знаем, что в трехмерном кубе шесть двумерных кубов: по одному на каждую грань фигуры. Математическая задача, которая стоит перед читателем, — понять, сколько двумерных кубов в одном четырехмерном кубе.
Ответ можно получить, посчитав грани на двумерной проекции, которую мы показали ранее. У внутреннего куба шесть граней, у внешнего — еще шесть, а кроме того, есть двенадцать диагональных граней, что в сумме дает двадцать четыре. А теперь посчитайте число трехмерных кубов в гиперкубе.
* * *
Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.
Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.
Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.
Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры.
Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.
Познакомившись с n– мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.
Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q1, q2 и q3.
Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).
Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.
Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.
Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р. Координате q1 соответствует импульс p1 и так далее.
Следовательно, чтобы представить частицу, нам нужно шесть чисел: три для положения и три для импульса, и это означает, что частица движется по шестимерному пространству. Положение частицы можно представить математически, записав три положения, а затем три импульса. Если обозначить положение в этом абстрактном пространстве положений и импульсов через r, мы можем его выразить следующим образом:
r = (q1, q2, q3, p1, p2, p3)