Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ± 1/2 . Убеждаемся, что y = - 1/2 — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y^3 - 7у^2 - 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y^2 - 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + 3, y = 2 - 3.

Если tg ^x/₂ = 2 + 3,

то

то же самое мы получим и при tg ^x/₂ = 2 - 3.

Так как и обратно из sin x = 1/2 следует, что

то совокупность уравнений tg ^x/₂ = 2 + 3 равносильна уравнению sin x = 1/2 . Получаем x = k + (-1)^k/₆.

Ответ. 2k; k + (-1)^k /₆; 2k– 2 arctg 1/2 .

13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду

2 cos x = 1 + cos ^3x/₂.

С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos ^x/₂:

4y^3 - y^2 - 3y + 3 = 0.

Левую часть легко разложить на множители:

4у^2(y– 1) - 3(y– 1) = 0, (y– 1)(4у^2 - 3) = 0.

Если cos ^x/₂ = 1, то x₁, = 4n. Если 4 cos^2 ^x/₂ = 3, то cos x = 1/2 и x₂ = 2n ± /₃.

Ответ. 4n; 2n ± /₃.

13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:

22(1 + sin 2x + cos 2x) = 42 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (/₄ + x). В итоге получаем уравнение

которое равносильно системе

Условие sin x sin (/₄ - x) /= 0

подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (/₄ - x) /= 0, получим уравнение

cos x cos (/₄ - x)[sin (/₄ + 2x) - 1] = 0.

Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (/₄ - x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (/₄– x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (/₄ + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (/₄– x) /= 0, или cos (/₄– 2x) - cos /₄ /= 0, т. е. cos (/₄– 2x) /= ¹/₂, или sin (/₄ + 2x) /= ¹/₂. Теперь ясно, что в уравнение sin (/₄ + 2x) = 1 не попали посторонние корни.

Ответ. /₂ + n; -/₄ + n; /₈ + n.

13.20. Перепишем данное уравнение в виде

т. е.

После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x > 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:

y^2 - 4у– 4 = 0, т. е. y_1,2 = 2 ± 2 2.

Положительный корень заведомо посторонний. Остается

cos x = 2 - 2 2.

Ответ. x = (2n + 1) ± arccos |2( 2 - 1)|.

13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos^2 x– 1), то данное уравнение можно переписать в виде

sin x [4 cos x (2cos^2 x– 1) - ^m/_{cos x}] = 0.

Если sin x = 0, то x = k. Это — корни данного уравнения, поскольку cos k /= 0.

Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению

8 cos⁴ x– 4 cos^2 x– m = 0,