Стрелы Времени

Иган Грег

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v x w)^* = w^*x v^*

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного

вектора w^*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v x w^* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора выражается так:

v -> g x v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h^{– 1}| = 1 и

|g x v / h| = |g||v||h^{– 1}| = |v|

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v x w^*:

v -> g x v / h

w -> g x w / h

v x w^* -> (g x v / h) x (g x w / h)^* =

= g x v x h^{– 1} x (g x w x h^{– 1})^* =

= g x v x h^{– 1} x h x w^* x g^{– 1} =

= g x (v x w^*) x g^{– 1}

Поскольку g x Будущее/ g =

Будущее, то эта операция не меняет проекцию на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g:

v -> g x v / g

Например, повороту на 180⁰ в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.

Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g:

v -> g x v

и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h:

v -> v / h

Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 90⁰ как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.

Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h, преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:

v -> g x v / h

Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:

l -> g x l

r -> h x r

Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым». В нашем мире математика спиноров не так проста, как в случае Ортогональной Вселенной, но обе математические системы, тем не менее, довольно похожи, а спиноры и в той, и в другой Вселенной играют ключевую роль при описании поведения некоторых фундаментальных частиц в процессе поворота.