Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
Достаточно ли этих соображений для того, чтобы окончательно удостовериться в наличии противоречия? У читателя, возможно, осталось некое тревожное ощущение — кто знает, вдруг сквозь тщательно расставленные сети, невзирая на все наши старания, проскользнули какие-нибудь ошибочные M – или -утверждения? В конце концов, приведенные выше рассуждения будут иметь смысл лишь в том случае, если нам удастся исключить абсолютно всеошибочные M – утверждения (или -утверждения) в отношении 1– высказываний. Окончательно и бесповоротно удостоверитьсяв истинности утверждения G( Q' M ( M)) нам (и роботам) поможет обоснованностьформальной системы Q' M ( M) (обусловленная гипотезой M). Эта самая обоснованность подразумевает, что система Q' M ( M) ни в коем случаене может содержать таких M – утверждений, которые являются — или всего лишь предполагаются — ошибочными. Невзирая на все предпринятые меры предосторожности, полной
3.20. Возможность ограничиться конечным числом M – утверждений
Есть, впрочем, возможность именно эту конкретную проблему разрешить и сузить область рассмотрения до конечногомножества различных M – утверждений. Само доказательство несколько громоздко, однако основная идея заключается в том, что следует рассматривать только те 1– высказывания, спецификации которых являются «краткими» в некотором вполне определенном смысле. Конкретная степень необходимой «краткости» зависит от того, насколько сложное описание системы механизмов Mнам необходимо. Чем сложнее описание M, тем «длиннее» допускаемые к рассмотрению 1– высказывания. «Максимальная длина» задается неким числом c, которое можно определить из степени сложности правил, определяющих формальную систему Q' M ( M). Смысл в том, что при переходе к гёделевскому предположению для этой формальной системы — которую нам, вообще говоря, придется слегка модифицировать — мы получим утверждение, сложность которого будет лишь немногим выше, нежели сложность такой модифицированной системы. Таким образом, проявив должную осторожность при выборе числа c, мы можем добиться того, что и гёделевское предположение будет также «кратким». Это позволит нам получить требуемое противоречие, не выходя за пределы конечного множества «кратких» 1– высказываний.
Подробнее о том, как это осуществить на практике, мы поговорим в оставшейся части настоящего раздела. Тем из читателей, кого такие подробности не занимают (уверен, таких наберется немало), я рекомендую просто-напросто пропустить весь этот материал.
Нам понадобится несколько модифицировать формальную систему Q' M ( M), приведя ее к виду Q' M ( M, c) — для краткости я буду обозначать ее просто как Q( c) (отброшенные обозначения в данной ситуации несущественны и лишь добавляют путаницы и громоздкости). Формальная система Q( c) определяется следующим образом: при построении этой системы допускается принимать в качестве «безошибочных» только те M – утверждения, степень сложности которых (задаваемая описанным выше числом ) меньше c, где cесть некоторое должным образом выбранное число, подробнее о котором я расскажу чуть ниже. Для «безошибочных» M – утверждений, удовлетворяющих неравенству < c, я буду использовать обозначение «краткие M – утверждения». Как и прежде, множество действительных теоремформальной системы Q( c) будет включать в себя не только краткие M – утверждения, но также и утверждения, получаемые из кратких M – утверждений посредством стандартных логических операций (позаимствованных, скажем, из исчисления предикатов). Хотя количество теорем системы Q( c) бесконечно, все они выводятся с помощью обыкновенных логических операций из конечногомножества кратких M – утверждений. Далее, поскольку мы ограничиваем рассмотрение конечным множеством, мы вполне можем допустить, что функции T, L и N постоянны(и принимают, скажем, наибольшие значения на конечном интервале ). Таким образом, формальная система Q( c) задается лишь четырьмя постоянными c, T, L, Nи общей системой механизмов M, определяющих поведение робота.
Отметим существенный для наших рассуждений момент: гёделевская процедура строго фиксированаи не нуждается в увеличении сложности выше некоторого определенного предела. Гёделевским предположением G( H) для формальной системы Hявляется 1– высказывание, степень сложности которого должна лишь на сравнительно малую величину превышать степень сложности самой системы H, причем эту величину можно определить точно.
Конкретности ради я позволю себе некоторое нарушение системы обозначений и буду вкладывать в запись « G( H)» некий особый смысл, который может и не совпасть в точности с определением, данным в §2.8 . В формальной системе Hнас интересует лишь ее способность доказывать 1– высказывания. В силу этой своей способности система Hдает нам алгебраическую процедуру A, с помощью которой мы можем в точности установить (на основании завершения выполнения A) справедливость тех 1– высказываний, формулировка которых допускается правилами системы H. А под 1– высказыванием понимается утверждение вида «действие машины Тьюринга T p( q) не завершается» — здесь и далее мы будем пользоваться специальным способом маркировки машин Тьюринга, описанным в Приложении А (или в НРК, глава 2). Мы полагаем, что процедура Aвыполняется над парой чисел ( p, q), как в §2.5 . Таким образом, собственно вычисление А( p, q) завершается в том и тольков том случае, если в рамках формальной системы Hвозможно установить справедливость того самого 1– высказывания, которое утверждает, что «действие T p( q) незавершается». С помощью описанной в §2.5 процедуры мы получили некое конкретное вычисление (обозначенное там как « C k( k)»), а вместе с ним, при условии обоснованности системы H, и истинное 1– высказывание, которое системе Hоказывается
Пусть есть степень сложностипроцедуры A(по определению, данному в §2.6 , в конце комментария к возражению Q8) — иными словами, количество знаков в двоичном представлении числа , где A= T . Тогда, согласно построению, представленному в явном виде в Приложении А , находим, что степень сложности утверждения G( H) удовлетворяет неравенству < + 210 Iog 2( + 336). Для нужд настоящего рассуждения мы можем определить степень сложности формальной системы Hкак равную степени сложности процедуры A, т.е. числу . Приняв такое определение, мы видим, что «излишек» сложности, связанный с переходом от Hк G( H), оказывается еще меньше, чем и без того относительно крохотная величина 210 Iog 2( + 336).
Далее нам предстоит показать, что если H= Q( c) при достаточно большом c, то < c. Отсюда, соответственно, последует, что и 1– высказывание G(Q(c)) должно оказаться в пределах досягаемости системы Q (с) при условии, что роботы принимают G( Q( c)) с -убежденностью. Доказав, что c> + 210 log 2( + 336), мы докажем и то, что < c; буквой мы обозначили значение при H= Q( c). Единственная возможная сложность здесь обусловлена тем обстоятельством, что сама величина зависит от c, хотя и не обязательно очень сильно. Эта зависимость от cимеет две различных причины. Во-первых, число cявляет собой явный предел степени сложности тех 1– высказываний, которые в определении формальной системы Q( c) называются «безошибочными M – утверждениями»; вторая же причина происходит из того факта, что система Q( c) явным образом обусловлена выбором чисел T, Lи N, и можно предположить, что для принятия в качестве «безошибочного» M – утверждения большей сложности необходимы какие-то более жесткие критерии.
Относительно первой причины зависимости от cотметим, что описание действительной величины числа cнеобходимо задавать в явном виде только однажды (после чего внутри системы достаточно обозначения c). Если при задании величины с используется чисто двоичное представление, то (при больших c) такое описание дает всего-навсего логарифмическую зависимость от c(поскольку количество знаков в двоичном представлении натурального nравно приблизительно log 2 n). Вообще говоря, учитывая, что число с интересует нас лишь в качестве возможного предела, точное значение которого находить вовсе не обязательно, мы можем поступить гораздо более остроумным образом. Например, число 2 2 . . . 2с sпоказателями можно задать с помощью sсимволов или около того, и вовсе нетрудно подыскать примеры, в которых величина задаваемого числа возрастает с ростом sеще быстрее. Сгодится любая вычислимая функция от s. Иными словами, для того чтобы задать предел c(при достаточно большом значении c), необходимо всего лишь несколько символов.
Что касается второй причины, т.е. зависимости от c чисел T, Lи N, то, в силу вышеизложенных соображений, представляется очевидным, что для задания величин этих чисел (в особенности, их возможных предельных значений) совершенно не требуется, чтобы количество знаков в их двоичном представлении возрастало так же быстро, как c; более чем достаточно будет и, скажем, обыкновенной логарифмической зависимости от c. Следовательно, мы с легкостью можем допустить, что зависимость величины + 210 log 2( + 336) от cявляется не более чем грубо логарифмической, а также устроить так, чтобы само число cвсегда было больше этой величины.
Согласимся с таким выбором с и будем в дальнейшем вместо Q( c) записывать Q*. Итак, Q* есть формальная система, теоремами которой являются все математические высказывания, какие можно вывести из конечного количества кратких M – утверждений, используя стандартные логические правила (исчисление предикатов). Количество этих M – утверждений конечно, поэтому разумным будет предположить, что для гарантии их действительной безошибочности вполне достаточно некоторого набора постоянных T, Lи N. Если роботы верят в это с M – убежденностью, то они, несомненно, M – заключат, что гёделевское предположение G( Q*) также истинно на основании гипотезы M, поскольку является 1– высказыванием меньшей, нежели c, сложности. Рассуждение для получения утверждения G( Q*) из M – убежденности в обоснованности формальной системы Q* достаточно просто (в сущности, я его уже привел), так что с присвоением этому утверждению статуса M проблем возникнуть не должно. То есть само G( Q*) также должно быть теоремой системы Q*. Это, однако, противоречит убежденности роботов в обоснованности Q*. Таким образом, упомянутая убежденность (при условии справедливости гипотезы Mи достаточно больших числах T, Lи N) оказывается несовместимой с убежденностью в том, что поведением роботов действительно управляют механизмы M, — а значит, механизмы Mповедением роботов управлять не могут.