Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
e i = cos + isin ,
здесь — вещественное число, равное величине угла между прямой, соединяющей начало координат с соответствующей этому числу точкой, и осью x. [39]
Рис. 5.18. Единичную окружность образуют точки, соответствующие комплексным числам z= e i, где — вещественное число; | z| = 1.
39
Вещественное число eназывается «основанием натурального логарифма»: e= 2,7182818285 Запись e zозначает
Теперь выясним, как в таком представлении выглядят отношениякомплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное число состояние не претерпевает физических изменений (например, если помните, состояния —2| F и | F мы полагали физически одинаковыми). Таким образом, в общем случае, состояние | физически идентично состоянию u| при любом ненулевом комплексном u. Применительно к состоянию
| = w|^ + z|V,
умножение wи zна одно и то же ненулевое комплексное число и не приведет к какому-либо изменению физического феномена, соответствующего этому состоянию. Физически различными спиновые состояния могут быть только в том случае, если их векторы состояний характеризуются различными отношениями z: w(а при u/= 0 отношения uz: uwи z: wравны).
Как же изобразить комплексное отношение геометрически? Существенное отличие комплексного отношения от просто комплексного числа заключается в том, что в качестве значения комплексного отношения допускается не только конечное комплексное число, но и бесконечность(обозначается символом ). Так, если рассматривать, в общем случае, отношение z: wкак эквивалент «одиночного» комплексного числа z/ w, то при w= 0 мы сталкиваемся с некоторыми, мягко говоря, затруднениями. Для того чтобы этих затруднений избежать, математики условились в случае w= 0 полагать число z/ wравным бесконечности. Такая ситуация возникает, например, в состоянии «спин вниз»: | = z|V = 0|^ + z|V. Вспомним, что нулю не могут быть равны оба коэффициента (т.е. и w, и zодновременно), поэтому случай w= 0 вполне допустим. (Мы могли бы вместо z/ wвзять отношение w/ z, если оно по каким-либо причинам понравилось бы нам больше; тогда символ понадобился бы нам для случая z= 0, что соответствует состоянию «спин вверх». Никакой разницы между этими двумя описаниями нет.)
Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо . Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т.е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19 ). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z: w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку P, соответствующую комплексному числу p= z/ w (допустим пока, что w/= 0), а затем проецируем эту точку Pв точку P' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс Sсферы. Иначе говоря, мы проводим через точки Sи Pпрямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку P'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс Sпри таком отображении соответствует комплексному отношению . В самом деле, представим себе, что точка Pкомплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка P' на сфере окажется при этом очень близко от полюса S— в пределе, когда модуль комплексного числа pустремляется к бесконечности, точки P' и Sсовпадают.
Рис. 5.19.
Сфера Римана играет фундаментальную роль в квантовом описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всегда очевидна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Римана, пусть и незримо, где-то на сцене все равно присутствует. Она описывает — в абстрактном геометрическом виде — пространство всех физически достижимых состояний, которые можно получить из двух различных квантовых состояний посредством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных можно взять, например, возможные состояния фотона | B и | C. В общем случае их линейная комбинация имеет вид w| B + z| C. В §5.7 мы подробно рассматривали только один конкретный случай | B + i| C (результат отражения/пропускания света, падающего на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать и другие комбинации состояний. Для этого нужно всего лишь изменить степень «серебрёности» зеркала и поместить на пути одного из лучей что-нибудь преломляющее. Так можно набрать полную сферу Римана всевозможных альтернативных состояний, соответствующих различным физическим ситуациям вида w| B + z| C, т.е. комбинациям двух начальных состояний | B и | C.
Впрочем, в таких случаях геометрическая роль сферы Римана как раз и неочевидна. Однако возможны и иные ситуации, в которых целесообразность построения сферы Римана проявляется в полной мере. Самым наглядным примером такого рода является описание спиновых состояний частицы со спином 1/2 — электрона, скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно записать в виде комбинации
| = w|^ + z|V;
как оказывается (при соответствующем выборе направлений ^ и V из физически эквивалентных возможных вариантов), это самое | представляет собой состояние правого спина (величины 1/2 h), направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к точке, соответствующей отношению z/ w, на сфере Римана. Таким образом, любое направление в пространстве выступает как возможное направление оси спина для любой частицы со спином 1/2. Хотя большая часть спиновых состояний представляется изначально в виде «таинственных комплексно-взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний» (т.е. состояний |^ и |V), мы видим, что эти состояния ничуть не более (но и не менее) таинственны, чем оригинальные состояния |^ и |V, выбранные нами в качестве начальных. Каждое физически реально в той же мере, что и все остальные.
А что же с состояниями большего спина? Здесь ситуация становится несколько более запутанной — и более таинственной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой известностью среди современных физиков, хотя оно было предложено еще в 1932 году блестящим итальянским физиком Этторе Майораной (в 1938 году, в возрасте 31 года, Майорана бесследно исчез с борта входившего в Неаполитанский залив парома при обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетворительного объяснения).
Рассмотрим сначала то, что физикам таки известно. Допустим, у нас есть атом (или какая-то другая частица) со спином 1/2 n. В качестве исходного направления мы снова можем выбрать направление вверх, а заодно и полюбопытствуем, «какая доля» спина атома действительно ориентирована в этом направлении (т.е. является правой относительно направленной вверх оси). Для удовлетворения любопытства можно воспользоваться стандартным устройством, которое называется установкой Штерна—Герлаха и способно осуществлять упомянутые измерения с помощью неоднородного магнитного поля. Как выясняется, различных возможных вариантов развития событий всего n+ 1, что обусловлено тем фактом, что атомы в магнитном поле могут отклоняться только в одном из n+ 1 возможных направлений (см. рис. 5.20 ). Доля спина, ориентированного в выбранном направлении, определяется конкретным направлением, в котором отклоняется атом. Будучи измеренной в единицах 1/2 h, доля ориентированного в данном направлении спина принимает одно из следующих значений: n, n– 2, n– 4, …, 2 - n, — n. Возможные же спиновые состояния для атома со спином 1/2 n представляют собой комплексные суперпозиции перечисленных допустимых состояний. Возможные результаты измерения Штерна—Герлаха для спина n+ 1 (направление поля в установке — вертикально вверх) я буду записывать следующим образом: