Тени разума. В поисках науки о сознании

Пенроуз Роджер

| = | | .

Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний | + | или, в общем случае, z| + w| , где zи w— комплексные весовые коэффициенты. Например, если | и | — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись | + | также представляет возможное состояние того же самогофотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одногофотона, заметим, никак не двух. Состояние парыфотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором | | .

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам,

каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

( z| )| = z(| | ) = | ( z| ),

(| + | )| = | | + | | ,

| (| + | ) = | | + | | ,

(| | )| = | (| | ).

разве что равенство | | = | | , строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «| и | » физически чем-то отличается от совокупной системы «| и | ». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью | | мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

| | = ±| | .

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда обасостояния (| и | ) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонамии на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «| и | » ничем не отличается от «| и | ».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через | , | и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

| | | ,

причем грассманово произведение (| | )| (или, что эквивалентно, | (| | )) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U: эволюция совокупной системы | | (где | и | никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени tсистема | эволюционирует (индивидуально) в систему | ', а система | эволюционирует (индивидуально) в систему | ', то совокупная система | | за то же время tэволюционирует в систему | '| '. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента | , | и | , эволюционирующих, соответственно, в | ', | ' и | ' то совокупная система | | | посредством той же эволюции переходит в состояние | '| '| '. То же верно для четырех и более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство линейностиэволюции U(см. §5.7 ), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние | + | , например, эволюционируете | ' + | '. Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разныхвещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует — как целое — так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т.е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае — существенное условие, иначе свойство не «работает». Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием Uсистемы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний независимоот того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция Uлинейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.

5.16. Ортогональность произведений состояний

С ортогональностью произведений состояний (в том виде, в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не так просто, как хотелось бы. Допустим, у нас имеется два ортогональных состояния| и | ; тогда мы вправе ожидать, что состояния | | и | | также будут ортогональными, причем при любом | . Пусть, например, | и | — возможные альтернативные состояния фотона, где | —

состояние фотона, зарегистрированного неким фотоэлементом, а ортогональное | состояние | — предполагаемоесостояние фотона в случае, когда фотоэлемент не регистрирует ничего (нулевое измерение). Можно представить себе, что наш фотон является компонентом некоей совокупной системы — просто добавим к нему еще какой-нибудь объект (например, другой фотон, скажем, где-нибудь на Луне) и обозначим состояние этого другого объекта через | . Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два альтернативных состояния — | | и | | . Простое добавление состояния | в имеющееся описание не должно, разумеется, оказать никакого влияния на ортогональность двух первоначальных состояний. В самом деле, если говорить об определении произведения состояний в терминах обычного «тензорного произведения» (или необычного — в данном случае, грассманова произведения, а точнее, некоторой его модификации, используемой в наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортогональности состояний | и | действительно следует ортогональность | | и | | .

Как бы то ни было, пути, которыми, похоже (согласно

последним данным квантовой теории), предпочитает следовать Вселенная, далеко не столь прямолинейны. Если бы состояние | можно было счесть полностью независимым и от | , и от | , то тогда его присутствие и в самом деле ничего бы не меняло. Однако формально полной независимости здесь быть не может, и состояние даже пребывающего на Луне фотона оказывает самое непосредственное воздействие на состояние фотона, регистрируемого нашим фотоэлементом [40] . (С этими формальностями связано, в частности, то, что под обозначением «| | » мы подразумеваем произведение грассманова типа — если использовать более привычные термины, то речь тут идет о так называемой «статистике Бозе» (описание состояний фотонов и прочих бозонов) или о «статистике Ферми» (описание состояний фермионов — электронов, протонов и т.д.), см. НРК, с. 277, 278 и, скажем, [94].) Если бы перед нами стояла задача получить абсолютно точный с точки зрения теории результат, то рассмотрение состояния одного-единственного фотона потребовало бы учета состояний всех фотонов во Вселенной. Впрочем, необходимости в этом (к счастью) нет — и без такого учета точность получаемых результатов хоть и не абсолютна, но все же чрезвычайно высока. Если состояния | и | ортогональны, то можно с очень высокой степенью точности предположить, что ортогональными будут и состояния | | и | | (даже если это произведения грассманова типа), где | — любое состояние, не имеющее очевидного отношения к рассматриваемой задаче (каковая задача непосредственно касается лишь ортогональных состояний | и | ). Так и предположим.

40

Любопытно, что такого рода феномены находят недвусмысленное подтверждение в реальных физических наблюдениях. Описанный Хэнбери Брауном и Твиссом [ 187, 188] эффект, в соответствии с которым были измерены диаметры некоторых близлежащих звезд, основывается как раз на таком «бозонном» свойстве взаимодействия достигающих Земли фотонов, испущенных с противоположных краев звезды.

5.17. Квантовая сцепленность

Для того чтобы двигаться дальше, нам не обойтись без понимания квантовой физики ЭПР-эффектов— квантовомеханических Z– загадок, ярким представителем которых является представленная мною выше задача о магических додекаэдрах (см. §§5.3 , 5.4 ). Кроме того, мы должны как-то разобраться с главной X– загадкой квантовой теории — парадоксальной взаимозависимостью между процессами эволюции Uи редукции R, загадкой, порождающей проблему измерения, о которой мы поговорим в следующей главе. Следовательно, настала пора ввести очередную фундаментальную квантовую идею — понятие о сцепленных состояниях.

Начнем с того, что попытаемся выяснить, что включает в себя простой процесс измерения. Рассмотрим следующую ситуацию: фотон находится в суперпозиции, скажем, | + | , где в состоянии | фотон активирует детектор, в состоянии же | , ортогональном | , фотон никакого воздействия на детектор не оказывает. (Похожий пример рассматривался в §5.8 , когда на детектор, расположенный в точке G, падал фотон, пребывающий в состоянии —| F– i| G. В состоянии | G фотон активировал детектор, в состоянии | F никакого воздействия на детектор не происходило.) Предположим далее, что детектору тоже можно сопоставить некое квантовое состояние, скажем, | . Вообще говоря, в квантовой теории это обычная практика. Лично мне не совсем ясно, какой может быть смысл в придании квантовомеханического описания объекту классического уровня, однако в дискуссиях на эту тему подобные вопросы, как правило, никого не занимают. Как бы то ни было, мы, думаю, можем согласиться с тем, что те элементы детектора, с которыми фотон сталкивается прежде всего, и в самом деле допускают рассмотрение согласно стандартным правилам квантовой теории. Поэтому, если у вас возникают какие-либо сомнения относительно правомерности применения этих правил ко всему детектору (как к целому), вы можете считать, что вектор состояния | описывает поведение именно совокупности элементов квантового уровня (частиц, атомов, молекул), что принимают на себя, так сказать, первый удар.