Тени разума. В поисках науки о сознании

Пенроуз Роджер

В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.

Приложение B: Нераскрашиваемость додекаэдра

Напомним условие задачи, поставленной в §5.3 . Предлагается показать, что невозможно раскрасить все вершины додекаэдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ цвета, соблюдая следующие условия: две «следующие соседние» вершины не могут обе быть БЕЛЫМИ, а шесть вершин, соседних с двумя противоположными (антиподальными) вершинами, не могут быть все ЧЕРНЫМИ. При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно полезной оказывается симметричность додекаэдра.

Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29 . Вершины A, B, C, D и E образуют ближайшую к нам пятиугольную грань додекаэдра; дальше, в том же

порядке, следуют соседние с ними вершины F, G, H, I и J. Как и в §5.18 , соответствующие антиподальные вершины обозначены через A*, …, J*. Для начала отметим, что, согласно второму свойству условия, среди вершин додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ — пусть это будет A.

Предположим теперь, что среди непосредственных соседей БЕЛОЙ вершины A имеется еще одна БЕЛАЯ вершина — скажем, B (см. рис. 5.29 ). Тогда все десять вершин, окружающие эту пару, — C, D, E, J, H*, F, I*, G, J* и H — должны быть ЧЕРНЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по отношению либо к A, либо к B. Далее, возьмем шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары H, H*. В этой шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит, БЕЛОЙ будет либо F*, либо C* (или обе сразу). Проделав ту же процедуру с парой J, J*, приходим к выводу, что здесь БЕЛОЙ должна быть либо вершина G*, либо E* (или, опять же, обе сразу). Но это невозможно! И G*, и E* являются следующими соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно, вариант, когда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непосредственный сосед, исключается — в самом деле, ввиду симметричности додекаэдра, невозможной оказывается любая пара соседних БЕЛЫХ вершин.

Таким образом, вершина A должна быть окружена исключительно ЧЕРНЫМИ вершинами B, C, D, E, J, H*, F, I* и G, поскольку каждая из этих вершин является по отношению к A либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внимание на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары A, A*. Очевидно, что одна из вершин B*, E* или F* должна быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра, неважно, какая именно, — пусть будет F*. Отметим, что вершины E* и G* являются следующими соседними по отношению к F*, значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна быть и вершина H, поскольку она соседствует с F*, а мы только что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что при этом всесоседи антиподальных вершин J, J* оказываются ЧЕРНЫМИ. Вот, собственно, и все доказательство — в классическоммире магические додекаэдры невозможны!

Приложение C: Ортогональность общих спиновых состояний

Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков, хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18 отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [ 252 ], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [ 299 ] и [ 396 ].

Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени n, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат ( n+ 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состояний (массивной) частицы со спином 1/2 n. Как и в §5.10 , основными состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):

|^^^^…^^ — x ⁿ

|V^^^…^^ — n ^1/2 x ^{n– 1}

|VV^^…^^ — { n( n– 1)/2!} ^1/2 x ^{n– 2}

|VVV^…^^ — { n( n– 1)( n– 2)/3!} ^1/2 x ^{n– 3}

…

|VVVV…V^ — n ^1/2 x

|VVVV…VV — 1.

(Выражения

в фигурных скобках — биномиальные коэффициенты.) Таким образом, общее состояние спина 1/2 n,

z ₀|^^^…^^ + z ₁|V^^…^^ + z ₂|VV^…^^ + z ₃|VVV…^^ + … + z _n|VVV…VV,

представляется в виде полинома

p( x) = a ₀+ a ₁ x+ a ₂ x ²+ a ₃ x ³+ … + a _nx ⁿ,

где

a ₀= z ₀, a ₁= n ^1/2 z ₁, a ₂= { n( n– 1)/2!} ^1/2 z ₂, … a _n= z _n.

Корням x= ₁, ₂, ₃, …, _nполинома p( x) = 0 соответствуют nточек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x= , — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P( x) оказывается меньше nна величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ( x– )( ' x+ ') ^—1

(где ' + ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на ( ' x+ ') ⁿ . Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c( x– ) ^p ( ' x+ ') ^{n– p}.

Точки, задаваемые отношениями / и — '/ ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |^^^…^, |V^^…^, |VV^…^, …, |VVV…V. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [ 301 ], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 nописывается там через симметрический n– валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)