Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
Портрет Пьера де Ферма кисти Франсуа де Пуайи на обложке книги «Разные математические сочинения», составленной сыном знаменитого математика в 1679 году.
Понедельник, вторник…
В июне 1993 года на кафедре чистой математики Кембриджского университета, которую возглавлял австралиец Джон Коутс, прошла международная конференция по теории Ивасавы — подразделу теории чисел, в котором изучаются эллиптические кривые. Этот пугающий термин играет важную роль в нашем повествовании. Среди выступавших был бывший студент Коутса, который в свое время работал с ним над доказательством частного случая гипотезы Свиннертон-Дайера. Эта гипотеза широко известна
Коутс был приятно удивлен, что после стольких лет забвения его ученик, о котором мы говорим (а это был не кто иной, как Эндрю Уайлс), принял приглашение на конференцию. Коутс удивился еще больше, когда в ответ на вопрос, сколько времени тому понадобится на выступление, Уайлс, который отличался робостью и нелюбовью к публичным выступлениям, попросил выделить для него целых три часа. Заинтригованный Коутс спросил, какая же тема заслуживает трехчасового выступления, на что Уайлс ответил ему точно так же, как и другим своим коллегам: «Приходите, и вы сами всё увидите».
В названии доклада «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа» перечислялись, несомненно, известные термины, но Уайлс не говорил ничего о том, как они связаны между собой, как будто бы ему был известен какой-то секрет. Подобная сдержанность была достаточно необычной даже в среде профессиональных математиков, в целом отличающихся замкнутостью, которые общались лишь с коллегами, когда им был нужен какой-то совет.
В понедельник Уайлс, вооруженный многочисленными заметками, вошел в конференц-зал. Под удивленными взглядами двух десятков присутствующих этот высокий и худощавый человек, которому едва исполнилось сорок, за пробивающуюся лысину получивший прозвище «яйцеголовый», столь типичное для ученых, во время доклада перечислил результаты своих работ, представлявшие огромный научный интерес. Слухи распространились незамедлительно, и на следующем выступлении, запланированном на вторник, в зале не осталось ни одного пустого места.
Когда он закончил второй доклад и направился к выходу, присутствующие проводили его уважительным молчанием, а затем бросились обсуждать то, что они только что услышали. Было очевидно, что Уайлс не просто хотел перечислить полученные им результаты, хотя они, бесспорно, имели огромную ценность. Его доклады как будто подводили к какому-то выводу. Это было невероятно сложное и любопытным образом выстроенное доказательство… но доказательство чего? Кен Рибет, также присутствовавший в зале, не испытывал никаких сомнений по этому поводу. «Доклад Уайлса имеет кульминацию, единственную финальную цель» [2] , — сказал он позднее.
2
Вольный перевод цитаты из книги Амира Акселя «Последняя теорема Ферма». Эта глава во многом основана на этой книге о теореме Ферма и ее доказательстве, которая уже успела стать классической.
…и среда
23 июня 1993 года проход в зал, где Уайлс должен был прочитать свой третий и последний доклад, оказался забит небольшой толпой. Некоторые из присутствующих принесли с собой фотоаппараты, и им не терпелось сделать множество снимков этого худощавого математика, который излучал какое-то сверхъестественное спокойствие. Когда в зале установилась тишина, Уайлс начал третью часть доклада, который должен был стать одним из важнейших за всю историю математики. Выкладки на доске сменяли друг друга, и напряжение все возрастало. Наконец Уайлс записал последние несколько строк, которые были выражены в терминах современной математики, но означали то же самое, что написал один французский математик на полях книги более трехсот лет назад. «И это доказывает великую теорему Ферма, — сказал Уайлс. — Думаю, мне следует на этом остановиться».
И царство математики, где долгое время царила тьма, озарилось светом, и древний призрак был изгнан из него.
Фотография математика Эндрю Уайлса, сделанная во время конференции 23 июня 1993 года, когда он привел доказательство последней теоремы Ферма.
Математик на первой полосе
О достижении Уайлса с таким энтузиазмом начал говорить весь математический мир, что и неспециалисты не смогли обойти вниманием это событие. Газета «Нью-Иорк Таймс» 24 июня вышла с таким заголовком: «Наконец-то можно крикнуть „Эврика!“ Вековая тайна математики раскрыта» [3] , и большинство крупных газет по всему миру уделили этой новости такое же внимание. Об удивительной истории Ферма и его последней теореме были написаны передовицы газет и снято множество телепрограмм. Робкому и застенчивому Уайлсу пришлось привыкнуть к статусу скромной знаменитости. «Семь лет решение этой задачи вызывало во мне удивительные чувства, — вспоминал он в 1997 году. — И наконец мне удалось решить ее». Однако на этом цитата не заканчивается: «И только потом стало известно, что не все было так гладко».
3
Оригинальное название: At Last, Shout of «Eureka!» in Age-Old Math Mystery.
Легкий путь к славе и профессиональному признанию спустя несколько месяцев после триумфального выступления в Кембридже превратился в ночной кошмар. Старый призрак не собирался так легко сдаваться. Но чтобы понять, что именно последовало за восторгами июня 1993 года, и оценить по достоинству путь, проделанный Уайлсом, — этот мучительный путь через пустыню, который он хотел пройти до конца, — нужно взглянуть в самую суть задачи и, насколько это возможно, осознать всю ее широту и сложность. Для этого нужно совершить увлекательное путешествие во времени, своеобразную одиссею от момента зарождения математики за 2000 лет до Рождества Христова и до современной алгебры и теории чисел. По возвращении на Итаку, удовлетворив свое любопытство и утолив жажду приключений, мы поблагодарим Ферма и его великую теорему за пройденный нами путь, на котором мы увидим наивысшее воплощение человеческого интеллекта и любознательности.
Глава 2
Все началось в Шумерии
Кто сказал, что история математики не так уж важна? Именно история математики хранит истоки человеческой мысли, рассказывает, как развивались идеи и где найти ключи к пониманию будущего. Это основное средство изучения математики и к тому же еще одна возможность насладиться ее красотой. История загадки Ферма уходит корнями на много тысяч лет назад, в Шумерию и Древнюю Индию. Ее истоки хранит знаменитая теорема Пифагора, которая гласит, что если х и у — катеты прямоугольного треугольника, a z — его гипотенуза, то х2 + у2 = z2.
Пифагор, несомненно, один из самых знаменитых математиков, а теорема Пифагора — одна из известнейших теорем. Тем удивительнее, что за несколько веков до его рождения эта теорема уже была известна. Настало время переименовать ее, но в честь кого ее следует назвать?
История, которую мы расскажем, начинается в 1800 году до н. э. близ Ларсы — крупного города шумеров, расположенного на юге современного Ирака. Тщательно размяв кусок глины, писец раскатывает его, чтобы получилась табличка. Он собирается написать на ней таблицу чисел, которая сохранится на много тысяч лет.
Примерно в 1922 году нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел эту табличку у Эдгара Джеймса Бэнкса, торговца археологическими находками. Табличка находилась в неплохом состоянии, но справа посередине виднелась крупная трещина, а символы в верхнем левом углу было нельзя прочитать. И, что было еще интереснее, все указывало на то, что исходная табличка имела больший размер, поскольку левый край был неправильной формы, как будто обломан. Быть может, табличку повредили при раскопках? До нас дошла глиняная табличка размерами 13 x 9 x 2 см. Согласно Бэнксу, табличка была найдена в городе Сенкере (современное название Ларсы). Позднее исследователи сравнили стиль написания символов на этой и других табличках того времени и подтвердили, что Бэнкс не ошибся. Табличка датируется 1822–1784 годами до н. э. Иными словами, она была написана за несколько лет до захвата Ларсы войсками Хаммурапи в 1762 году до н. э. Плимптон умер в 1936 году и завещал эту табличку вместе со всей своей коллекцией Колумбийскому университету, где она хранится и поныне под номером 322. С тех пор эта табличка известна под названием Плимптон 322.