ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

Радикс опустил свой длинный нос пониже и довольно лукаво посмотрел на Илюшу. Тому после испанской задачки ничего другого не оставалось, как сделать вид, что он этого не замечает.

– Нет, - сказал мальчик, - ты мне все-таки лучше про Бриарея...

– 170 -

– Про Бриарея рассказ будет не очень длинный. Бриарей был, по древнему греческому мифу, одним из детей Урана - неба и Геи - земли, от которых родились титаны, гекатонхойры (что значит сторукие) и одноглазые циклопы. С одним из этих последних встретился Одиссей, как ты, вероятно, знаешь (а не знаешь, так возьми "Одиссею" в переводе Шуковского и узнаешь). Бриарей и был одним из гекатонхейров, которые в мифах олицетворяли грозные силы разбушевавшейся морской стихии. Титаны олицетворяли собой первобытные силы природы в их совокупности, а циклопы - явления небесной грозы: гром, молнию и заодно уж извержения вулканов и землетрясения. Все эти титаны были до того страшны, что собственный

отец заточил их в Тартар. А потом, когда титаны восстали против Зевса, он победил их с помощью гекатонхейров и циклопов. Миф этот связан с осадой Сиракуз римлянами, потому что Марцелл, предводитель римского войска, однажды сказал, объясняя своим воинам причины неудачных штурмов Сиракуз, что победить Архимеда, "этого Бриарея геометрии", почти невозможно. Вот поэтому-то мы иногда здесь о нем и вспоминаем.

– Значит, - сказал Илюша, - Бриарей был великан?

– В этом роде, - отвечал Радикс.
– Но мы здесь видали и не таких великанов.

– Это ты про Великую Теорему?

– Нет. Есть великаны и попроще, но такого удивительного роста, что невольно диву даешься. Мы с тобой сейчас говорили о мифах. Эти прекрасные, поистине высокопоэтические создания народного гения сохранили нам не только образы древнего искусства, но и замечательные мысли. Возможно, мы снова вспомним нашего сиракузского Бриарея. Люди с давних времен всегда интересовались большими числами. В трудах индийских математиков, поскольку они отразились в легендах и поэмах древней Индии, мы встречаем не просто упоминания о больших числах, но суждения о том, как их строит мысль человеческая, какие числовые громады можно построить, исходя из довольно простых принципов. Так, в одной из древнейших книг Индии рассказывается, каким образом могут быть уложены камни при постройке некоей стереометрической фигуры. Счет начинается с десяти тысяч, затем это число последовательно увеличивается путем умножения его на десять, и девятое число из этого ряда уже довольно велико: десять в двенадцатой степени. Мы теперь называем его триллионом- это миллион миллионов. Чтобы как-нибудь представить себе эту "крошку", вспомним вот о чем. Самая близкая к нам звезда, не принадлежащая к нашей Солнечной системе, называется Альфа Центавра. Ты, наверное, знаешь, что обычно отдельные звезды созвездия называются греческими буквами.

– 171 -

Так вот, Альфа Центавра находится от нас на расстоянии сорока триллионов километров. Свет в одну секунду пролетает триста тысяч километров. В году свыше тридцати миллионов секунд; следовательно, свет этой звезды должен идти к нам примерно четыре с половиной года. Довольно долго, не правда ли? Допустим, что у нас с тобой будет самолет, который летает со скоростью тысяча километров в час.

Для КРУГЛОГО счета будем считать, что в году девять тысяч часов. Тогда за год он пролетит девять миллионов километров, за сто лет – девятьсот миллионов километров, то есть еле приблизится к биллиону. Таким образом, чтобы пролететь триллион километров, нашему самолету придется лететь, не останавливаясь, сто тысяч лет с лишним. Ты видишь, что триллион- это довольно почтенное число.

– Да уж действительно! А скажи, пожалуйста, ведь биллион не редко называют еще миллиардом, так нельзя ли на этом основании назвать триллион биллиардом?

– Нет, такого названия не существует. Ну, слушай дальше. Мысль древнеиндийских математиков и поэтов на этом не остановилась. В поэме Рамаяна описывается воинственный бог Сугрива, который ведет страшное обезьянье войско. Число хвостов в этих ужасающих полчищах начинает исчисляться обезьяньими дивизиями, в каждой из которых ты находишь, ни много ни мало, сто миллионов непобедимых мартышек. Затем эти дивизии объединяются во все более и более крупные соединения, и в конце концов во всей этой бесподобной армии насчитывается 10³⁸ мохнатых богатырей. Что такое 10³⁸ по нашей системе? Если мы назовем с тобой 10³³ децильоном, то дальше счет пойдет так:

10³³ ....... децильоны

10³⁶ ....... тысячи децильонов

10³⁹ ....... миллионы децильонов

10⁴² ....... биллионы децильонов

Как видишь, хвостов в распоряжении этого индийского вояки было вполне удовлетворительное количество.

Кстати, скажу тебе вот еще что. В старинных русских рукописях тоже имеются рассуждения о весьма больших числах.

В одной рукописи приводится число, о котором говорится, что "больше сего числа несть человеческому разуму разумети".

– 172 -

Оно именуется "колодой" и равняется 10⁸, то есть сотне миллионов. Однако это еще не всё. В другой рукописи есть указание

на то, что, кроме обычной системы, которая заканчивается колодой, существует еще и иная система, называемая "числом великим словенским", и там уже "последнее" число равняется 10⁴⁸. А теперь обрати внимание на то, что эти индийские поэмы, как и их отражения в старинных русских рукописях, никогда не называют большое число сразу, а показывают, как путем постепенного увеличения вполне обозримого числа мы получаем числа, которые уже превосходят наше воображение. Есть еще одна замечательная индийская легенда о том, как царевич Бодхисатва сватался к дочери царя Дандапани и какими вопросами испытывал царевича премудрый Арджуна. Речь идет о системах счисления и о том, каковы примерно размеры получаемых при этом чисел. Эта прекрасная сказка очень напоминает одно замечательное творение нашего с тобой любимца Архимеда. Оно построено по тому же принципу, как и сказка об индийском царевиче. Хочешь послушать?

– Да-да!
– сказал Илюша.
– Про Архимеда мне все очень интересно.

– Отлично. Дело было в третьем веке до нашей эры. Архимед в этом сочинении, которое написано в форме послания к сиракузскому царю Гелону, идет примерно тем же путем, каким шли индийские математики. Он показывает на очень хорошем примере, что человек в рассуждениях может составить числа, превышающие всякий, даже самый необъятный на первый взгляд пример. Архимедов "Счет песчинок" (так называется это его сочинение) начинается следующими словами: "Некоторые - о царь Гелон!
– думают, что число песчинок бесконечно. Не только тех песчинок, что находятся вблизи Сиракуз и по всей Сицилии, но и всех тех, что рассеяны по всем обитаемым и необитаемым странам земли. Другие полагают, что число это не бесконечно, но невозможно определить словесно количество, которое превышало бы число всех этих песчинок". Архимед утверждает, что мнения эти неправильны, и опровергает их таким образом. Возьмем песчинку и предположим, что в одном маковом зернышке находится 10⁴, или десять тысяч таких песчинок. Не правда ли это будет довольно маленькая песчинка?

– Ясно, - отвечал Илюша, прямо пылинка.

– 173 -

– Далее Архимед говорит, что один палец равен сорока диаметрам макового зернышка, а стадия (греческая мера длины, которая равна примерно ста шестидесяти метрам) меньше десяти тысяч пальцев. Затем он говорит, что если мы возьмем шар с диаметром в одну стадию, то объем его будет меньше, чем объем куба, ребро которого равно одной стадии, что очевидно, ибо такой шар можно вписать в такой куб. Из этого он заключает, что в шаре с диаметром в одну стадию не может заключаться песчинок более нежели 10²¹, то есть более секстильона. Ясно, что объем этого шара менее, чем 104 кубических пальцев, он меньше, чем 40³ • 10¹² зернышек мака, а следовательно, меньше, чем 10⁴ • 40³ • 10¹², или 64 • 10¹⁹, песчинок, а стало быть, он меньше, чем секстильон, равный 10²¹.

Далее он полагает, что если построить шар с диаметром, равным диаметру Солнечной системы, который, как он полагает, меньше 10¹⁰ стадий, то объем этого шара будет менее 10³⁰ кубических стадий, а следовательно, в нем будет заключаться менее, чем 10⁵¹ песчинок, или, по нашей с тобой системе, менее квинтильона децильонов. Наконец, Архимед строит шар с радиусом, равным расстоянию от Земли до неподвижных звезд, которое, по его мнению, менее десяти тысяч диаметров Солнечной системы, и утверждает, что в таком шаре будет заключаться менее 10⁶³ песчинок, или, по нашим с тобой обозначениям, менее нонильона децильонов. Может быть, тебе эта величина станет немного яснее, если я скажу, что в переводе на современные меры объем этой сферы Архимеда менее нежели 5 • 10⁵⁴ кубических сантиметров.

Но Архимед не употреблял позиционной системы, как не пользовался он и показателями степени. Он строит для этого рассуждения свою систему чисел, начиная с греческого числа "мириада", которое равно десяти тысячам, то есть 10⁴. Тогда числа до мириады он называет первыми числами, затем идет мириада мириад, или 10⁸, которая будет единицей вторых чисел. Мириада мириад вторых чисел, или 10¹⁶, будет единицей третьих чисел, и так далее. И вот теперь оказывается, что для того, чтобы определить, сколько песчинок будет в сфере, радиус которой равен расстоянию от Земли до неподвижных звезд, достаточно взять число, которое будет менее тысячи мириад восьмых чисел Архимеда.