ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Шрифт:
Как будет наклонена касательная по отношению к положительному направлению оси абсцисс?
– По-моему, - сказал Илюша, - она до максимума будет наклонена в одну сторону, а после максимума - в другую.
– Это верно, - сказал Радикс, - а поточнее? Какой угол будет образовывать касательная с положительным направлением оси абсцисс, если мы продолжим касательную до пересечения с этой осью- до максимума и после него?
– До максимума, - ответил Илюша, - кривая поднимается, значит, верхняя часть касательной будет образовывать с положительным направлением оси абсцисс острый угол, а после максимума кривая опускается, значит, верхняя часть касательной образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.
График параболы четвертого порядка.
У этой кривой два максимума и один минимум (или
... или четырежды.
– 335 -
– Круглая пятерочка!
– воскликнул Радикс.
– Отвечай, юноша, что же будет с касательной в точке максимума?
– Не знаю! .. Ах да! Очень просто. Она будет параллельна оси абсцисс. Она ведь скользит по кривой и поворачивается, а в точке максимума станет совершенно горизонтально.
А потом уже повернется в другую сторону.
– А почему она поворачивается?
– Потому что ордината кривой, приближаясь к максимуму, растет все медленнее, а потом, после максимума, сейчас же начинает уменьшаться.
– Молодчага!
– сказал Радикс.
– Вот тебе и ясно, какая польза от касательной. Она показывает, как изменяется скорость роста ординат кривой, указывает, где находится максимум или минимум. При ее помощи можно решать задачи на нахождение максимумов, имеющих очень большое значение в технике. Как сделать из данного куска железа цилиндр наибольшей вместимости? Как сделать брус, который обладал бы наибольшей прочностью? Все эти задачи решаются при помощи метода касательных. А чтобы все было проще и ясней, мы просто будем рассматривать угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, и характеризовать его при помощи его тангенса. Мы всегда можем построить прямоугольный треугольник, где отрезки, параллельные осям координат, будут катетами и гипотенуза будет направлена по касательной. Этот треугольник впервые был построен Архимедом при изучении спиралей, а затем после Паскаля и Барроу (ко времени Ньютона) он стал важным орудием анализа и сыграл немалую роль в развитии математики. Отношение катетов этого треугольника и будет искомым тангенсом угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.
– Вот уж не подумаешь сразу, что касательная такая полезная линия!
– сказал Илюша.
– А греки знали об этом?
– И Архимед и Аполлоний Пергейский, вероятно, понимали это. Но раскрылось в подробностях все гораздо позже.
Теперь припомним, как шло дело дальше. Греческая наука замирает. После падения Рима ей не только не помогают, а с ней борются. Монахи уверяют, что надо жить не рассудком, а верой, и в силу этого добираться до тайн природы грешно. Надо смотреть на природу и удивляться ее могуществу - и все!
– 336 -
А затем начетчики Византии - люди начитанные, но плохо умеющие критиковать своп собственные знания, постепенно договорились до того, что греческие математики и философы были просто говоруны, а не ученые. Этим начетчикам трудно было пользоваться научными завоеваниями Древней Греции: они не знали, что с ними делать. Древние рукописи еще переписывались, по на этом дело, по-видимому, и кончалось. Затем у арабов все как бы начинается заново. Они изучают древних греков, а также первоначальную алгебру Индии. Арабы понемногу продвигаются вперед в том деле, которое начал Архимед.
Если Архимед сумел вычислить площадь параболы, то один из арабских ученых, математик и астроном Ибн-Альхайтам, живший в начале одиннадцатого века нашей эры, нашел площадь кубической параболы и параболы четвертого порядка, с которой ты немного знаком по биквадратным уравнениям. Кое-что из арабских математических сочинений постепенно просачивается в Европу. Некоторые предприимчивые европейцы даже ухитряются попадать в арабские университеты, как, например, А Кордову в Испании, хотя это была опасная штука и студент-христианин рисковал головой в мавританском университете. Во время крестовых походов влияние арабской науки, стоявшей значительно выше европейской, еще усиливается.
Народы Европы начали сомневаться в могуществе церкви, которая подняла все их страны на бесполезные войны. Некоторые люди открыто говорили, что если арабы сильнее европейцев, то, значит, и культура их выше. А так как культурными людьми в то время были преимущественно клирики, то есть люди из духовенства, то в Европе начали раздаваться голоса, утверждавшие, что, может быть, и религия арабов лучше христианской. Это привело церковников в ужас, и они всеми возможными средствами стали бороться с арабской культурой.
И тормозить всякую научную работу. Дошло до того, что Парижский университет однажды постановил, что тот, кто публично противопоставляет Аристотеля, переделанного католическим духовенством на свой лад, арабским ученым и соглашается с ними, достоин смертной казни. Просто и ясно! Но все-таки люди думали и понемножку работали. А затем арабские халифаты пали под ударами новых завоевателей - монголов и турок. И вот, когда пала Византия, то беженцы-греки, как мы уже тебе говорили, привезли в Италию целый ряд драгоценных сочинений греческих математиков и философов. Сочинения эти стали переводить, изучать и печатать. А это оказалось мощным толчком для всей европейской науки. И, преодолевая чудовищные препятствия схоластических и церковных бредней, к семнадцатому веку наконец появились замечательные работы великого Галилея. Его современник Кеплер изучал по методу Архимеда площади и объемы криволинейных фигур.
– 337 -
Кеплер первый ввел в астрономию сперва овальную линию, о которой он узнал из работ живописца Альбрехта Дюрера, а затем конические сечения, выяснив, что Земля ходит по эллипсу вокруг Солнца, находящегося в одной замечательной точке внутри эллипса. Это показало людям науки, что геометрические законы вплотную примыкают к законам природы. Понимаешь, как это было важно! А Галилеи начал изучать законы падения тел, то есть законы движения. И затем, после долгих и очень трудных опытов с наклонной плоскостью, ему удалось показать, что брошенный камень, стрела, выпущенная из лука, пуля, которая вылетает из пищали или мушкета, и струя воды из бочки или фонтана движутся тоже по одному из конических сечений, а именно по параболе. Таким образом, конические сечения из геометрии попали в астрономию и механику с великой пользой для этих последних. Ты уже слышал, как церковь расправилась с Галилеем. Сочинения Кеплера тоже были признаны греховными и "богопротивными", и добропорядочным католикам было воспрещено их читать под угрозой "отлучения от церкви", а это наказание в то время обозначало потерю всех гражданских прав. Но как ни бились монахи, на какие чудовищные жестокости они ни решались, ничто не могло остановить движения науки вперед. Когда люди увидели, что математика помогает и в механике и в астрономии, они постепенно перестали верить монахам, и те начали неохотно и осторожно, но все-таки отступать. Теперь, я думаю, ты понимаешь, что когда после работ Кеплера и Галилея математики не только не стали отворачиваться от понятия движения, но вплотную занялись им, то первое, о чем им пришлось подумать, это был вопрос о скорости движения. А чтобы ты составил себе хотя бы некоторое представление о том, до чего все это было трудно, я расскажу тебе, как бились до Галилея с вопросом о скорости. Аристотель, например, учил, что закон инерции есть закон сохранения покоя, неподвижности, и так именно и думали даже самые замечательные умы Возрождения, как, например, великий художник, механик и математик Леонардо да Винчи, Кардан и другие. Один из предшественников Галилея, Телезио, уже знал, что падение тела есть ускоренное движение, но он не пытался выяснить законы и обстоятельства этого, а просто пояснял это литературной аналогией, сравнивая падающее тело с уставшим путником, который, подходя к цели путешествия, ускоряет шаг. Мыслитель не только должен был найти в себе силы, чтобы оторваться от этих чисто словесных, а стало быть, беспомощных сравнений и аналогий, но должен был пойти по совершенно новому пути, непрестанно споря к тому же с таким крупнейшим авторитетом, каким был Аристотель. Самые споры но этим вопросам нередко заходили в тупик, ибо спорящие плохо понимали друг друга.
– 338 -
Галилея, например, упрекали в том, что он "не знает" или "не хочет знать" того, что говорили по вопросам физики древние поэты и философы, и Галилею приходилось с большим трудом втолковывать своим критикам, что он вовсе не "не знает" того, что говорили Вергилий, Лукреций или Сенека, а спорит с ними, утверждая, что они в данном случае ошибались и что это можно доказать на опыте. Но когда вопрос о скорости облекся наконец в математическую форму, то немедленно проблема изучения скорости движения в природе стала задачей изучения скорости изменения ординат кривых. Одним из первых ученых, кто занимался этим, был Торричелли. Вот почему вопрос о методе касательных приобрел такую исключительную важность.