Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

Но если мы так условились, то будет справедливо равенство: (1 + 1 = 0), ибо если ты дважды нажал кнопку, то лампа гореть

— 168 —

не будет. И вообще всякая сумма четного числа единиц будет равна нулю, а нечетного — единице. Например, если ты нажал кнопку три раза подряд, то (1 + 1 + 1 = 1), то есть лампа будет гореть. Единица в левой части равенства — это нечто вроде отрицания «не»: нуль в правой части говорит, что ничего не изменилось. Если лампа не включена, то, прибавляя «не», получаем «не не включена», то есть включена, и наоборот.

— Вот как… — недоуменно пробормотал Илюша.

— И представь себе, что такого рода равенства ныне имеют немалое значение для замечательных современных электронно-счетных машин.

— 169 —

Схолия

Десятая,

замечательная как своей непревзойденной краткостью, так и весьма скромными размерами сообщаемых ею фактов, на один из коих потребовалось всего-навсего: одна странная вещица, которую Илюша второпях принимает за бильярд, три шахматные доски, одно маковое зернышко, восемьдесят квадриллионов нулей и очень миленькая девушка, некая Альфа Ц. (известная тем, что когда бы на нее ни поглядели, всегда кажется, что она на пять лет моложе того, что есть на самом деле), после чего читатель узнает кое-что о славе Архимедовой, которой не были страшны долгие века, и об одной отважной путешественнице.

Радикс опустил свой длинный нос пониже и довольно лукаво посмотрел на Илюшу. Тому после испанской задачки ничего другого не оставалось, как сделать вид, что он этого не замечает.

— Нет, — сказал мальчик, — ты мне все-таки лучше про Бриарея…

— Про Бриарея рассказ будет не очень длинный. Бриарей был, по древнему греческому мифу, одним из детей Урана — неба и Геи — земли, от которых родились титаны, гекатонхойры (что значит сторукие) и одноглазые циклопы. С одним из этих последних встретился Одиссей, как ты, вероятно, знаешь (а не знаешь, так возьми «Одиссею» в переводе Жу-

— 170 —

ковского и узнаешь). Бриарей и был одним из гекатонхейров, которые в мифах олицетворяли грозные силы разбушевавшейся морской стихии. Титаны олицетворяли собой первобытные силы природы в их совокупности, а циклопы — явления небесной грозы: гром, молнию и заодно уж извержения вулканов и землетрясения. Все эти титаны были до того страшны, что собственный отец заточил их в Тартар. А потом, когда титаны восстали против Зевса, он победил их с помощью гекатонхейров и циклопов. Миф этот связан с осадой Сиракуз римлянами, потому что Марцелл, предводитель римского войска, однажды сказал, объясняя своим воинам причины неудачных штурмов Сиракуз, что победить Архимеда, «этого Бриарея геометрии», почти невозможно. Вот поэтому-то мы иногда здесь о нем и вспоминаем.

— Значит, — сказал Илюша, — Бриарей был великан?

— В этом роде, — отвечал Радикс. — Но мы здесь видали и не таких великанов.

— Это ты про Великую Теорему?

— Нет. Есть великаны и попроще, но такого удивительного роста, что невольно диву даешься. Мы с тобой сейчас говорили о мифах. Эти прекрасные, поистине высокопоэтические создания народного гения сохранили нам не только образы древнего искусства, но и замечательные мысли. Возможно, мы снова вспомним нашего сиракузского Бриарея. Люди с давних времен всегда интересовались большими числами. В трудах индийских математиков, поскольку они отразились в легендах и поэмах древней Индии, мы встречаем не просто упоминания о больших числах, но суждения о том, как их строит мысль человеческая, какие числовые громады можно построить, исходя из довольно простых принципов. Так, в одной из древнейших книг Индии рассказывается, каким образом могут быть уложены камни при постройке некоей стереометрической фигуры. Счет начинается с десяти тысяч, затем это число последовательно увеличивается путем умножения его на десять, и девятое число из этого ряда уже довольно велико: десять в двенадцатой степени. Мы теперь называем его триллионом — это миллион миллионов. Чтобы как-нибудь представить себе эту «крошку», вспомним вот о чем. Самая близкая к нам звезда, не принадлежащая к нашей Солнечной системе, называется Альфа Центавра. Ты, наверное, знаешь, что обычно отдельные звезды созвездия называются греческими буквами. Так вот, Альфа Центавра находится от нас на расстоянии сорока триллионов километров. Свет в одну секунду пролетает триста тысяч километров. В году свыше тридцати миллионов секунд; следовательно, свет этой звезды должен идти к нам примерно четыре с половиной года. Довольно долго, не прав-

— 171 —

да ли? Допустим, что у нас с тобой будет самолет, который летает со скоростью тысяча километров в час. Для круглого счета будем считать, что в году девять тысяч часов. Тогда за год он пролетит девять миллионов километров, за сто лет — девятьсот миллионов километров, то есть еле приблизится к биллиону. Таким образом, чтобы пролететь триллион километров, нашему самолету придется лететь, не останавливаясь, сто тысяч лет с лишним. Ты видишь, что триллион — это довольно почтенное число.

— Да уж действительно! А скажи, пожалуйста, ведь биллион не редко называют еще миллиардом, так нельзя ли на этом основании назвать триллион биллиардом?

— Нет, такого названия не существует. Ну, слушай дальше. Мысль древнеиндийских математиков и поэтов на этом не остановилась. В поэме Рамаяна описывается воинственный бог Сугрива, который ведет страшное обезьянье войско. Число хвостов в этих ужасающих полчищах начинает исчисляться обезьяньими дивизиями, в каждой из которых ты находишь, ни много ни мало, сто миллионов непобедимых мартышек. Затем эти дивизии объединяются во все более и более крупные соединения, и в конце концов во всей этой бесподобной армии насчитывается 10³⁸ мохнатых богатырей. Что такое 10³⁸ по нашей системе? Если мы назовем с тобой 10³³ децильоном, то дальше счет пойдет так:

10³³ ……. децильоны

10³⁶ ……. тысячи децильонов

10³⁹ ……. миллионы децильонов

10⁴² ……. биллионы децильонов

Как видишь, хвостов в распоряжении этого индийского вояки было вполне удовлетворительное количество.

Кстати, скажу тебе вот еще что. В старинных русских рукописях тоже имеются рассуждения о весьма больших числах.

Древнеславянские цифры

В одной рукописи приводится число, о котором говорится, что «больше сего числа несть человеческому разуму разумети». Оно именуется «колодой» и равняется 10⁸, то есть сотне миллионов. Однако это еще не всё. В другой рукописи есть указание на то, что, кроме обычной системы, которая заканчи

— 172 —

вается колодой, существует еще и иная система, называемая «числом великим словенским», и там уже «последнее» число равняется 10⁴⁸. А теперь обрати внимание на то, что эти индийские поэмы, как и их отражения в старинных русских рукописях, никогда не называют большое число сразу, а показывают, как путем постепенного увеличения вполне обозримого числа мы получаем числа, которые уже превосходят наше воображение. Есть еще одна замечательная индийская легенда о том, как царевич Бодхисатва сватался к дочери царя Дандапани и какими вопросами испытывал царевича премудрый Арджуна. Речь идет о системах счисления и о том, каковы примерно размеры получаемых при этом чисел. Эта прекрасная сказка очень напоминает одно замечательное творение нашего с тобой любимца Архимеда. Оно построено по тому же принципу, как и сказка об индийском царевиче. Хочешь послушать?

— Да-да! — сказал Илюша. — Про Архимеда мне все очень интересно.

— Отлично. Дело было в третьем веке до нашей эры. Архимед в этом сочинении, которое написано в форме послания к сиракузскому царю Гелону, идет примерно тем же путем, каким шли индийские математики. Он показывает на очень хорошем примере, что человек в рассуждениях может составить числа, превышающие всякий, даже самый необъятный на первый взгляд пример. Архимедов «Счет песчинок» (так называется это его сочинение) начинается следующими словами: «Некоторые — о царь Гелон! — думают, что число песчинок бесконечно. Не только тех песчинок, что находятся вблизи Сиракуз и по всей Сицилии, но и всех тех, что рассеяны по всем обитаемым и необитаемым странам земли. Другие полагают, что число это не бесконечно, но невозможно определить словесно количество, которое превышало бы число всех этих песчинок». Архимед утверждает, что мнения эти неправильны, и опровергает их таким образом. Возьмем песчинку и предположим, что в одном маковом зернышке находится 10⁴, или десять тысяч таких песчинок. Не правда ли это будет довольно маленькая песчинка?