Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

— Привет, Радикс Кристофович! Привет вам, славная Сторона! Арифметическая прогрессия имеет честь явиться по вашему глубокомысленному пожеланию в полном составе! Dixi!

— Молодцы ребята! — ответствовал им Радикс.

Тут из толпы карликов выскочил еще один очень худенький человечек, все тело которого, казалось, состояло из одной тоненькой черты. Вместо головы у него тоже была черточка, вместо рук и ног — тоже по черточке. Он стал в очень важную позу, строго и серьезно взмахнул своей черточкой-ручонкой. Сейчас же карлики, которые стояли сзади, вытащили из-за спины свои охотничьи рога и заиграли очень веселый марш, а остальные мигом пустились в пляс, а затем пропели очень звонко и весело своими тоненькими, словно флейта, голосами:

— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

Илюша смотрел как очарованный

на этот превосходный балет, а когда они умолкли, очень вежливо сказал человечку черточке:

— Вы, если я не ошибаюсь, разность этой прекрасной прогрессии?

Человечек в знак согласия поклонился Илюше.

— У вас прекрасный хор. И танцоры замечательные! И оркестр тоже очень хороший! Но почему вы назвали Радикса Кристофовичем да еще славной Стороной? И что значит слово dixi?

— А видите ли, — произнес человечек Разность, — ведь нашему другу недавно стукнуло от роду четыреста сорок лет, ибо именно столько лет прошло с тех пор, как математик Кристоф Рудольф в шестнадцатом веке ввел знак радикала. В Индии его называли корнем, а в Европе нередко еще стороной, разумея, что подкоренное количество знаменует собой площадь квадрата, сторону какового надлежит найти. Могу еще указать, что в «Арифметике» Леонтия Магницкого, напечатанной в Москве в тысяча семьсот третьем году (в книге, по которой учился сам Ломоносов), корень обозначался прописной латинской буквой R и именовался «радикс» или «бок», то есть «сторона». A «dixi» значит: «Я сказал все, что собирался сказать».

— Ах вот как! — сказал Илюша.

— 189 —

Он хотел еще спросить кое о чем у этого любопытного человечка, но в это время Радикс произнес:

— Ну, друзья, будьте так любезны!

Карлики мигом выстроились в одну линию, причем человечек Разность суетился, мелькая между ними и расставляя их по порядку. Толстая женщина уныло стояла в сторонке, не принимая в этой веселой толкотне никакого участия.

Когда карлики выстроились, на их красивых кафтанчиках вдруг появились блестящие буквы:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, … , a_{n– 1}, a_n.

— Это обозначения членов прогрессии. Можно было бы, конечно, их пометить просто буквами а, b, с и так далее, но азбука ведь довольно коротенькая, а номеров у нас сколько хотите, — пояснил человечек Разность — Энный член-это последний, «зн минус первый» — предпоследний, «эн минус второй» — третий с конца. Вот и все.

Тут же все буквы исчезли, а на кафтанчиках карликов появилась та самая прогрессия, которую недавно писал Илюша:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19…

Потом карлики вдруг быстро стали парами. Единица стала в пару с девятнадцатью, тройка с семнадцатью, пятерка с пятнадцатью, семерка с тринадцатью, а девятка с одиннадцатью.

Илюша посмотрел с удивлением и тут же заметил, что если взять некоего карлика от начала ряда, а потом найти ему пару, отсчитав то же число с другого конца, то сколько таких пар ни составляй, все они дадут в сумме одно и то же число. Снова у карликов цифры заменились буквами, и Илюша увидел, что к первой паре стоят a₁ и a_n, во второй — a₂ и a_{n– 1}, в третьей — a₃ и a_{n– 2}, и так далее. Когда он это рассмотрел, из толпы карликов вылез какой-то невзрачный лилипут в длиннополом сюртуке, который тащил такие большие конторские счеты, что они были чуть не больше его самого, хотя, в сущности, и лилипут и счеты были очень маленькие. Он подошел к Илюше и пробормотал:

— Я — Число членов прогрессии. Понятно?

Илюша кивнул ему. Тогда карлики снова выстроились в ряд, а за ними появился совершенно такой же ряд, но только расположенный в обратном порядке. Карлики обоих рядов приблизились друг к другу и a_n, опять стали парами: a₁ с a_n, a₂ с a_{n– 1} и так далее. Но только теперь это произошло очень быстро, потому что им не пришлось перебегать от начала ряда

— 190 —

к его концу, так как второй ряд уже был расположен в обратном порядке.

Снова буквы сменились у всех на кафтанчиках цифрами, а рядом со счетоводом появились два маленьких человечка, совершенно таких же, как первый и последний члены ряда. Счетовод Числочленов вытащил откуда-то знак равенства, весьма важно оправил свой долгополый костюм, на котором появилась цифра «10», взял под руку двух маленьких человечков и стал рядом с ними по левую сторону знака равенства. Справа же стояли парами два ряда карликов. Счетовод взмахнул рукой, и один из рядов исчез, но одновременно крайние карлики взяли в руки скобки и рядом появился человечек с надписью «2». Получилось равенство:

10 · (1 + 19) =2 · (1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+ 15+ 17+ 19)

Илюша посмотрел и сообразил: из каждой пары членов получается 20, членов всех десять — выйдет 200. Это с правой стороны. А с левой счетовод Числочленов равен десяти, а сумма пары 1 и 19 (которая равна сумме любой пары, если пары подбираются, как было сказано выше) дает 20. Десять умножим на двадцать — опять получим 200. Все правильно!

Затем счетовод Числочленов вытащил из своего долгополого сюртучка предлинную черту, посмотрел на нее, расправил, потом положил на пол, и все трое из левой части равенства стали на нее. Засим он поманил пальцем человечка-двойку, который подлез под длинную черту и, оказавшись замечательным силачом, приподнял всю левую часть над собой. Толстая женщина подошла к ним, а карлики отошли в сторону. Илюша хотел было спросить у этой толстухи, кто она такая, но она проскрипела:

— Я — Сумма. А ты и не признал!

И на ее платье показалась цифра «100».

Илюша сильно покраснел, но ничего не сказал. Перед ним стояло равенство:

[10 · (1 + 19)] / 2 = 100.

— 191 —

Все было правильно. Затем цифры быстро сменились буквами, и получилась формула:

S = [ n (a₁ + a_n) ] / 2

Илюша внимательно посмотрел на нее и уверенно произнес:

— Сумма членов арифметической прогрессии равняется половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.

Счетовод Числочленов немедленно с большой поспешностью соскочил вниз и стал засовывать свою черту в карман, страшно гремя костяшками счетов, которые он боялся выпустить из рук. Карлики крикнули все хором:

— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

И тотчас же все исчезло, будто вовсе не бывало.