Волшебный двурог
Шрифт:
стала больше 1033. Но 210 больше, чем 103, значит, 2110 уж наверно больше, чем 1033, а у нас там еще множитель «три» в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.
— Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?
— Тогда мне придется еще подрасти, — отвечал Мишка. — Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 1066. Можешь проверить, коли не лень.
— И так будет, — сказал Радикс, — всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число
— Вот тут уж я не понимаю, — ответил Илюша. — Как это — стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит — равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?
— Ты совершенно прав, сказал Радикс — Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется… Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.
Вспомни синьориту Одну Энную: при неограни-
— 200 —
ченном возрастании «эн» она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.
Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они «стремятся к бесконечности».
— Да… — задумчиво протянул Илюша. — Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?
— Так, — ответил Радикс. — Но что же ты хочешь этим сказать?
— Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.
Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом — наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности…
Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее:
— О величайшая и пресветлая Лилавати, богиня волшебного мира! Кровь сохнет в жилах моих и уши увядают, когда я слышу эту беспросветную чепуху, что льется из уст этого непросвещенного отрока!
Засим грозный доктор Уникурсальян обратился к Илюшей возопил:
— Отвечай мне: во-первых, что же это будет за х? Стоит только достигнуть параллельности, и наклонная перестанет быть наклонной. И останутся два перпендикуляра, которые, как, может быть, и тебе известно, ни в какой точке пересекаться не умеют. А ведь, по-твоему, х, как это донеслось до слуха моего, есть именно расстояние от основания перпендикуляра до точки, которой нет?
— 201 —
— Ну хорошо, я скажу иначе, — возразил Илюша. — Просто возьму перпендикуляр и буду двигать по нему точку, начиная от какой-то начальной — той, которая была основанием перпендикуляра, — все дальше и дальше так, чтобы расстояние х от начальной точки стремилось к бесконечности. Так вот, когда я вместо отрезка перпендикуляра до удаляющейся точки возьму всю эту часть перпендикуляра, то есть весь луч, идущий в одном направлении от начальной точки, то тогда можно уж сказать, что этот луч имеет длину, равную бесконечности, то есть что расстояние х уже стало действительно бесконечностью.
— Сказать можно все, что угодно, — сердито отвечал командор, — а какой в этом будет смысл? Что вы разумеете под словом «длина», юноша? Если я вас правильно понял, то вы имели в виду длину отрезка, а ведь это не что иное, как число, которое можно получить, если этот отрезок измерять, откладывая на нем единицу длины. Но перед вами не отрезок, а луч, и откладывать на нем единицу можно сколько угодно раз, но от вашей цели вы при этом будете все так же далеки, как в самом начале, хотя бы вы и отложили единицу децильон децильонов раз. Ибо попробуйте, сделав это, удалиться на столь же почтенное расстояние от вашей работы и посмотреть издали: вам покажется, что вы еще с места не сдвинулись. Конечно, можно сказать, выражаясь, однако, совершенно условно, что «длина луча равна бесконечности», но и это опять будет иметь только тот смысл, что сколько бы раз ни откладывал ты единицу меры вдоль луча, этому не будет конца, то есть какое бы число ни назначить, единицу можно отложить еще большее число раз.
— А почему же, — спросил Илюша, — нельзя просто сказать, что единица отложится «бесконечное число раз»? Ведь мы говорим же, что число всех чисел бесконечно или что на отрезке умещается бесконечное число точек…
— И здесь эти выражения имеют тот же самый смысл, — отвечал Радикс (ибо Магистр Деревьев уже исчез). — Сосчитать все точки на отрезке невозможно. Когда ты говоришь, что число точек на отрезке бесконечно, то только признаешься в том, что сколько бы точек ты ни отметил, всегда можно найти на отрезке еще одну, не отмеченную, и так дальше, без конца. Недаром же мы произносим слово «бес-конечность». Вспомни Архимеда: ведь как раз его задачей и было доказать современникам, что какое бы большое число ни назвать, всегда можно построить еще большее.
— А все-таки непонятно: почему же мне не называть бесконечность числом? — спросил Илюша. — Ведь если говорить, что длина луча равна бесконечности или что число точек на
— 202 —
отрезке равно бесконечности, то ведь всякому будет ясно, что это значит…
— Ну что ж, — ответил Радикс, — если употреблять эти выражения в том смысле, в каком мы с тобой только что говорили, то в этом ничего плохого нет. Но когда ты говоришь: «Что-то превратилось в бесконечность», нельзя забывать, что это имеет определенный смысл, ибо то, что «превращается» во что-нибудь, перестает уж быть тем, чем оно было до этого: отрезок превращается в луч, множество чисел, каждое из которых ты можешь рассмотреть и назвать в отдельности, «превращается» в бесконечное множество всех чисел, в котором пересмотреть до конца элементы один за другим уже не удастся. Это «превращение» — очень хитрая штука. Ты можешь, конечно, вообразить, что тянул, тянул отрезок да и растянул его в луч, как делал с перпендикуляром, поворачивая наклонную до параллельности с ним. Но это ты только воображаешь себе. На самом деле бесконечный луч построить нельзя, а можно только представить себе бесконечный процесс удлинения отрезка. И то, что ты представляешь себе в качестве результата этого процесса, это уж совсем не отрезок, а нечто существенно отличное от отрезка.
— И затем, — сказал Илюша, — я вот еще что хотел спросить. Ты говоришь, что количество точек на отрезке прямой бесконечно, то есть эти точки нельзя исчерпать, перебирая их одну за другой. Ну хорошо, а если сказать, что бесконечность есть именно такое число, которое выражает количество точек на отрезке или вообще количество каких-либо вещей, процесс пересчитывания которых закончить невозможно?
— В некотором, строго определенном смысле можно и так говорить. Но как только ты скажешь, что бесконечность — число, то сейчас же возникает новая опасность. Числа ты можешь сравнивать по величине, складывать их, вычитать, а с бесконечностью в том смысле, как ты ее только что определил, нельзя обращаться, как с числами…