Вопросы религиозного самопознания
Шрифт:
Но никакие внешние признаки не обнаруживают с достоверностью, имею ли я любовь или нет; никакой чувственный опыт не покажет, в силу чего я поступаю так, как поступаю, в силу чего я работаю над собою всячески, занимаюсь всевозможною помощью другим и общественною деятельностью, делаю, по-видимому, всё и кончаю жизнь мученичеством – на костре. Никакой чувственный опыт не обнаружит, медь ли я звенящая и кимвал глухо бряцающий или же сознательно функционирующий орган тела Христова. Но, между тем, эта эмпирическая неразличимость прикрывает собою существенное различие, а оно может быть усмотрено только самонаблюдением или какими-нибудь иными путями, но не опытным, если брать слово в обычном, чаще всего употребляющемся значении.
A. – Amen15. Однако ты чересчур распространился, увлекшись тоном проповеди; смотри, ты встрепан, будто не чесался два дня…
B. – Мы можем теперь перейти к третьему типу случаев, – к случаю, где два объекта, данные в созерцании, не обнаруживают разницы для такового, кажутся ему неразличимыми и тождественными, тогда как умозрение дает возможность отыскать принципиальную
Так как с созерцанием мы имеем дело по преимуществу в геометрии, то там особенно много примеров, поясняющих, в чем дело. Придется отметить только простейшие из них, хотя всем таким исследованиям математики принадлежит решающее значение и несомненно доказательная роль при обсуждении наших вопросов. Для начала укажу о существовании несоизмеримостей, то есть таких величин одного рода, которые не имеют общей меры между собою. Когда общая мера существует и отношение величин является соизмеримым, то оно может быть выражено некоторым числом; если же соотношение несоизмеримо, то нет такого числа, которое бы выражало собой это отношение. Таким образом, первая пара величин имеет какое-то принципиальное отличие от другой, но это отличие не может быть замечено и усмотрено никаким опытом.
Чтобы сделать это более наглядным, обратимся к геометрическим величинам. Пусть, например, каким-нибудь построением нам даны два прямолинейных отрезка. Сравнивая их, мы можем обнаружить разницу их длин; один отрезок окажется, например, более другого. Но ничего принципиально-различного таким способом – непосредственным сравнением отрезков – мы не заметим, как бы точно ни было сравнение. Однако, изучая тот путь, которым отрезки были получены, мы сможем умозрительно прийти к заключению о принципиальной разнице их, разнице по существу. Длина одного отрезка, как может оказаться, выражается некоторым числом, а другого – никаким числом не выражается. Чтобы выразить длину второго отрезка арифметически, то есть чтобы охарактеризовать длину отрезка в отвлеченных терминах, надо создать совершенно новый арифметический символ, новую арифметическую схему – так называемое иррациональное число. Таким образом, например, сторона квадрата и его диагональ, будучи несоизмеримы, имеют ка-кое-то внутреннее различие, абсолютно незаметное для простого созерцания этих отрезков. Это свойство сказанных линий было известно уже пифагорейцам, и открытие его относят к основателю союза. Нетрудно догадаться, какое ошеломляющее впечатление должно было произвести открытие этой теоремы на изобретателей. Одним из основных убеждений школы было признание универсальной роли числа, а под числом тогда разумелось именно целое число. И вот оказывается, что имеются объекты, притом объекты в области созерцания, которые никаким числом не выражаются, никаким числом не управляются, как бы лишены сущности, ибо сущность объекта, для пифагорейцев, есть выражающее его число. Получалось, будто люди заглянули незаконно в какую-то мистическую бездонность, подсмотрели или подслушали то, что людям не должно знать, вырвали из бездонности тайну богов и стоят, как сообщники одного страшного дела, не смея смотреть друг другу в глаза, вздрагивая от громкого слова, боясь проговориться и тем окончательно навлечь на себя гибель несущий гнев небожителей.
Завыли таинственные вздохи ветра; закачались в ужасе деревья, замахали руками; понеслись в вихрях почерневшие листья.
Порывы метели суровы и резки,
Ужасная тайна в душе шевелится.
Задерни, мой брат, у окна занавески:
А то будто Вечность в окошко глядится.
Пифагорейцы вовсе не были так несообщительны и замкнуты в своих философских воззрениях, как это было принято думать о них; но такие открытия… такие открытия должны были оставаться тайной, должны были глубоко укутаться молчанием.
Раскрыть случайно-увиденное, обнаружить пережито-найденное – это значит кощунственной рукой сдернуть покровы с того, что закрыли боги, бесстыдно обнажить божественную тайну. Горе нечестивцу, который дерзнет вынести скрытое наружу. Он навлекает тогда самим своим существованием гибель на союз и на самого себя. Единственное, чем можно спастись, это изгнать святотатца, отречься от него, пред богами объявить своим врагом. Да направят вечные боги весь гнев свой на виновника, на него одного!
Так и случилось. Основатель союза, тайновидец Пифагор, был еще жив, он доживал последние свои годы, как вдруг разразилась гроза, и союз, – слушавший мерно-звучащие кифары, занимавшийся благочестивыми упражнениями и увлекающими к миру стройности и небесной гармонии созерцаниями, – глухо заволновался. Нечестивый Гиппас, вероломный волк, обманувший доверие священного союза, пренебрег гневом небожителей и, забывая о подобающем божественным истинам молчании, святотатственно открыл тайну профанам – выдал непосвященным и неочистившимся священное предложение о несоизмеримостях. Гиппас был судим, с позором изгнан из ордена; пусть же бессмертные судят его! И вот не замедлил суд блаженных богов, живущих в высоком эфире. Только что отплыл в открытое море безумный нечестивец, только что утонул в голубом тумане береговой край Великой Греции, как Посейдон вспенил трезубцем почерневшую пучину, раскачал бесплодное море, захлестал гигантами-волнами – чудовищами морскими – на утлое суденышко, и дерзкий Гиппас понес кару за нескромность к богам. Он утонул, и неосторожные уста навеки сомкнула бесстрастная водная пустыня…
A. – (Смеется.) Это, по-твоему, факты?
B. – Фактов я и не хотел излагать; моею задачей было представить, как могли факты отражаться в сознании союза. Но теперь я просто буду указывать другие примеры. За недостатком времени я только упомяну о существовании так называемых трансцендентных чисел и величин, ими измеряемых. Оказывается, что также и среди иррациональных чисел можно установить принципиальные различения, разбивая их на существенно разнородные классы. Таковы, например, числа, степени которых соизмеримы; таковы же числа трансцендентные. Интересно то, что, хотя трансцендентное число существенно отлично от нетрансцендентного или алгебраического, но узнать относительно данного числа, каково оно, весьма нелегко. Так, например, знаменитая задача о квадратуре круга, почти 4000
Как простейший пример возьмем такие группы точек, которые расположены на прямой линии; точки, так сказать, нанизаны на прямую. Тогда, чтобы определить положение точки на прямой по отношению к некоторой неизменной точке – началу, нужно дать число, выражающее расстояние этой точки от неподвижной в каких-нибудь определенных единицах длины, например в миллиметрах. Если мера длины дана и дано число, то этим точка, характеризуемая числом, вполне определена. Выбирая совокупности чисел по тому или другому общему правилу, мы станем последовательно получать группы точек, расположенные по тому или другому закону. Так, например, мы можем потребовать, чтобы были взяты все те точки, соответственные числа которых – координаты – суть все рациональные числа не меньшие нуля и не большие единицы. Это будет группа «рациональных точек» в отрезке 0–1.
В теории групп на каждом шагу встречаются случаи, где две существенно-различные группы, которые приходится трактовать при всевозможных рассуждениях как объекты весьма разнящиеся, не могут быть различаемы в созерцании. Возьмем, например, группу точек, определяемых всевозможными числами между 0 и 1, включая сюда 0 и 1; это будет так называемая замкнутая группа. Возьмем, далее, группу точек, определяемых всевозможными числами между 0 и 1, включая сюда 0, но не включая 1; такая группа носит название незамкнутой. Обе эти группы абсолютно-неразличимы в созерцании, «на глаз»; одна имеет вид, как другая; одна, по-видимому, тождественна с другой. Но, на самом деле, между ними есть очень важная разница, которая радикально различает свойства групп. Первая группа, замкнутая, имеет, так сказать, окончания; точки 0 и 1 являются для нее крайними точками, так что нет ни одной точки группы, которая лежала бы правее, чем точка 1, и нет такой, которая лежала бы левее точки 0. То же самое можно сказать и о левом конце второй группы, незамкнутой; но не так обстоит дело с правым концом этой группы; тут конца в собственном смысле нет ; нет последней точки, крайней. Какую бы далеко стоящую точку мы ни взяли, непременно найдется другая, еще дальше ее стоящая; а последней все-таки нет. Мы можем как угодно близко подходить к точке 1, которая не относится к нашей незамкнутой группе, и все-таки никогда точки 1 достигнуть не сможем, потому что, если мы станем в точку 1, то выйдем из пределов группы, а если не станем еще в нее и будем слева от нее, то всегда имеем возможность подойти ближе. У замкнутой группы, так сказать, обтаял кончик, сточилась последняя точка, и получилась группа незамкнутая. Это изменение, невидимое и неощутимое, однако, произвело существенное изменение в свойствах, в структуре группы, и тот, кто занимался теорией групп, хорошо знает, как серьезны эти изменения структуры и как тщательно надо различать группу замкнутую от незамкнутой. У последней не хватает какого-то «чуть-чуть», с появлением которого она бы перешла в группу замкнутую. Но отсутствие этого «чуть-чуть» имеет для сущности группы, может быть, большее значение, чем в области эстетики то «чуть-чуть», с которого начинается искусство.
Приведу еще один пример. Если мы возьмем совокупность всех точек промежутка 0–1, включая сюда и пределы 0 и 1, то, как известно, она имеет своими соответственными числами совокупность всех иррациональных и рациональных чисел, которые не меньше 0 и не больше 1. Такая группа точек принадлежит к типу так называемых совершенных групп. Каждому мыслимому числу, рациональному или иррациональному – безразлично, соответствует точка группы, и, наоборот, каждой точке группы соответствует рациональное или иррациональное число, которое меньше 0 и не больше
1. Возьмем теперь между теми же пределами О и 1 другую группу точек – группу рациональных точек; каждой точке этой группы непременно соответствует число, заключающееся между 0 и 1; но сказать наоборот никак нельзя: не всякому числу соответствует точка группы и, если мы берем число иррациональное, то соответствующей ему точки не существует. В соответственном месте отрезка – носителя группы – группа имеет изъян, пробел. Так как между каждыми двумя рациональными числами существует бесконечное множество иррациональных, то в каждом отделе группы нашей существует бесконечное множество изъянов; вся группа разъедена, изгрызена. Однако эта источенность группы имеет одно замечательное свойство: дело в том, что между любою парою рациональных чисел, как бы ни разнились они мало, существует не только бесконечное множество иррациональных промежуточных, но и бесконечное множество рациональных же промежуточных. Другими словами, какой бы малый кусочек нашего прямолинейного отрезка мы ни взяли, он непременно окажется начиненным бесконечным множеством точек группы. За это свойство группа наша может быть отнесена к типу групп «всюду-плотных». Итак, с одной стороны, мы имеем сказанную всюду – плотную группу , а с другой – группу совершенную , о которой речь шла ранее. Все точки, которые участвуют в первой группе, участвуют и во второй, но нельзя сказать обратного; во второй группе имеется бесконечное множество точек, не участвующих в первой. Первая группа есть как бы изъеденная бесконечно-тонкими дырочками вторая группа, а вторая – зачиненная первая; та и другая по своим свойствам существенно разнятся между собою; они настолько различны, что немыслимо смешивание их; иначе можно наделать грубейших ошибок. И, однако, та и другая никаким созерцанием, никаким микроскопом не отличимы между собою. Первая есть как бы полоска пыли, насыпанная вдоль прямой линии, вторая – сплошная ниточка; в первой – разрозненные точки, рассыпавшиеся ниточки бисера, а вторая – непрерывная последовательность точек. И все-таки та и другая группы не могут быть представляемы как разнящиеся, хотя, с другой стороны, не могут быть мыслимы как тождественные. Вводимое в теории групп понятие о группе производной делает различие их особенно очевидным.