Введение в логику и научный метод
Шрифт:
Две данные теоремы (теорема умножения для независимых событий и теорема сложения для взаимоисключающих событий) являются фундаментальными теоремами исчисления вероятности. С помощью самих этих теорем, а также с помощью их расширений можно с легкостью разрешить и более сложные проблемы. Предположим, что мы по одному разу извлекаем шары из двух урн. При этом в первой содержится 8 белых и 2 черных шара, а во второй —6 белых и 4 черных шара. Извлечение любого из шаров считается равновероятным. Какова вероятность того, что, когда мы извлечем по одному шару из каждой урны, по меньшей мере один из них будет белым? Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 8/10, а из второй урны —6/10. Возникает соблазн сложить эти дроби, с тем чтобы получить вероятность извлечения белого шара из любой из двух урн. Однако такой шаг будет ошибочным. О твет будет больше 1, что абсурдно. И действительно, в данном случае мы не можем просто складывать,
Какова вероятность выпадения 3 орлов при 5 бросках монеты при допущении, что орлы и решки равновероятны и что все броски являются независимыми? При решении данной задачи мы познакомимся еще с одной важной формулой исчисления вероятности. Возможно, мы начали бы рассуждать так: поскольку подбрасываются 5 монет, то вероятность выпадения орла на каждой из них равна 1/2 а искомая вероятность 1/2 x 1/2 x 1/2 или 1/ Однако нам нужно выпадение трех орлов, и, следовательно, две другие монеты должны выпасть решкой, вероятность чего равна 1/2 x 1/2 или 1/4 из этого мы можем заключить, что вероятность выпадения лишь 3 орлов (т. е. 3 орлов и 2 решек) равна 1/8 x 1/4 или 1/32 Однако данный ответ будет неверным. В его неправильности можно будет легко убедиться, если выписать все возможные способы, которыми могли бы выпасть 5 монет, а затем непосредственно применить определение вероятности к этим равновероятным альтернативам.
Возможные альтернативы таковы:
Имеется 32 равновероятные возможности, из которых 10 являются благоприятными. Вероятность выпадения 3 орлов и 2 решек равна 10/32, что в десять раз больше, чем результат, полученный неверным методом.
Теперь мы можем понять, почему изначально предложенный метод был неверным. В нем не учитывались различные варианты упорядочивания, по которым могли выпасть 3 орла и 2 решки. Следовательно, нам требуется способ оценки числа различных вариантов упорядочивания, которые можно изобразить с помощью 5 буквенных знаков, 3 из которых будут представлять одну букву, а 2 – другую. Читателям, знакомым с законами комбинаторики, будет несложно осуществить подобную оценку. Тем же, кто не знаком с этой областью арифметики, не следует отчаиваться, поскольку существует очень простая формула, позволяющая легко получать нужный результат. Число возможных событий для каждой категории сложного события (т. е. 1 для 5 орлов и 0 решек, 5 для 4 орлов и 1 решки и т. д.) является ничем иным, как соответствующим коэффициентом в разложении двучлена
(а + Ь)5 = а5 + 5 а4Ь + 10 а3Ь2 + 10 а2Ъ3 + 5 аЬ4 + Ь5.
Таким образом, можно строго доказать, что если р является вероятностью события, a q является вероятностью его единственной взаимоисключающей альтернативы, то вероятность комплексного события, количество компонентов которого равно п, получается посредством выбора соответствующего термина при разложении двучлена (р + q)n . Разложение данного двучлена может быть осуществлено довольно просто:
Рассмотрим еще одну иллюстрацию формулы двучлена. Урна содержит 2 белых шара и 1 красный. Нам нужно 4 раза извлечь шар из урны, при том что мы каждый раз будем заменять извлеченный шар на такой же. Мы можем полагать, что все шары равновероятны относительно возможности быть извлеченными и что содержимое урны тщательно перемешивается после каждого извлечения, так что все извлечения независимы. Какова вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного? Вероятность извлечения белого шара: р = 2/з, а красного: q = 1/3 . Чтобы получить нужный ответ, нам следует лишь разложить двучлен:
(р + q)4 = р4 + 4p3q + 6p2q2 + 4 pq3 + q4,
а затем подставить указанные нумерические значения в термин, который представляет вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного. Данным термином является 4p3q , а искомая вероятность равна 4 х ( 2/3 )3 х ( 1/3 ) или 32/81.
§ 3. Интерпретация вероятности
Проведенное краткое рассмотрение исчисления вероятности не исчерпывает все интересные теоремы, содержащиеся в данной теме. Однако нам следует вернуться к обсуждению логики вероятностного вывода. Повторим еще раз сформулированное нами предупреждение. Математическая теория вероятности исследует необходимые следствия наших предположений о множестве альтернативных возможностей и не может сообщить нам вероятность какого-либо конкретного события. Возникают естественные вопросы: как в таком случае устанавливается вероятность конкретных событий, при каких обстоятельствах используются теоремы исчисления вероятности?
Анализ вероятностного вывода, проведенный нами в начале данной главы, не представляет обычной интерпретации этой проблематики. Вероятность того или иного события, как правило, отождествлялась с силой верования в то, что событие произойдет. Согласно де Моргану, вероятность означает «психическое состояние относительно некоторого утверждения, приближающегося события или любого другого обстоятельства, в отношении которого невозможно абсолютное знание». Выражение «это скорее является вероятным, чем невероятным», согласно его позиции, означает «я верю в то, что это случится, больше, чем я верю в то, что этого не случится» [49] . Всезнающее существо никогда не прибегнет к вероятностному выводу, поскольку оно будет достоверно знать истинность или ложность любого суждения. Те же существа, которые не обладают всезнанием, вынуждены опираться на вероятностный вывод, поскольку их знание является неполным и вероятность является мерой их неполного знания. Когда мы в целом уверены, что событие произойдет, то его вероятность равна 1; когда наша вера в его невозможность является подавляющей, то вероятность такого события равна 0; когда же наша вера находится между уверенностью в том, что событие произойдет, и уверенностью в том, что оно не произойдет, то вероятность выражается некоторой дробью, величина которой меньше 1 и больше 0.
При такой интерпретации вероятности исчисление вероятности может использоваться только в случаях, когда наше незнание распределено между несколькими альтернативами. Как мы убедились, математическая теория может ответить на вопрос «какова вероятность того, что при трех бросках монеты орел выпадет 3 раза», только когда имеется информация относительно 1) количества альтернативных способов, которыми может упасть монета, 2) равновероятности всех перечисленных альтернатив и 3) независимости различных бросков. При психологической интерпретации вероятности как меры верования или ожиданий подобную информацию получить вовсе не сложно, поскольку подобная теория опирается на известный критерий, который называется принципом недостаточного основания, или принципом безразличия. Согласно данному принципу, если не существует известных причин для приписывания предмету одной, а не другой из нескольких имеющихся альтернатив, то в отношении подобного знания утверждения о принадлежности этих альтернатив предмету обладают одинаковой вероятностью. А если нет известной причины для того, чтобы верить, что два события являются скорее независимыми, чем зависимыми, то вероятность того, что они независимы, является такой же, как и вероятность того, что они зависимы. Две альтернативы одинаково вероятны, если имеется «одинаковая нерешительность или верование относительно каждой из них». Когда мы вообще не обладаем никаким знанием о двух альтернативах, то вероятность того, что произойдет одно из них, должна согласно данному подходу рассматриваться как равная 1/2 . Если же мы смотрим на незнакомую монету и не имеем никаких причин считать, что одна сторона выпадет скорее, чем другая, то мы должны считать, что вероятность выпадения каждой из сторон одна и та же.
Данная интерпретация не имеет никакого отношения к основаниям теории вероятности. Во-первых, наша способность успешно предсказывать и контролировать поток происходящих изменений посредством вероятностного вывода (например, в области термодинамики и статистической механики) в таком случае становится необъяснимой, если подобные выводы основываются исключительно на нашем незнании или силе нашего верования. Ни одна страховая компания не просуществовала бы долго, если бы в ней решения принимались на основании приблизительной оценки верований и ожиданий ее сотрудников.
Во-вторых, если вероятность является мерой верования, то чье верование мы в таком случае измеряем? Стоит ли говорить о том, что верования относительно одних и тех же событий у разных людей могут быть совершенно разными? Все мы обладаем живым темпераментом, так что наши верования в определенное время и в отношении определенных вещей проходят через всю палитру состояний: от отчаяния до уверенности. Какое же состояние следует выбрать в качестве меры вероятности?
В-третьих, поскольку коэффициенты вероятности можно складывать и умножать, то и верования в таком случае должны были бы стать комбинируемыми соответствующим образом. Но на самом деле нельзя найти такой операции, как сложение верований, верования не могут быть измерены, что станет еще более понятным, когда мы рассмотрим принципы измерения.