Занимательно о космологии
Шрифт:
Вспомним эпоху. Мало того, что постулаты Эвклида почитались священными и неприкосновенными истинами. В философии царили взгляды Иммануила Канта, отошедшего от материализма молодости. Кант считал, что пространство и время не являются объективно-реальными, не существуют в мире «вещей в себе». По его мнению, пространство и время не более чем формы чувственного созерцания. Так сказать, это формы, упорядочивающие любые ощущения, получаемые от реального мира. Таким образом, не принадлежа к объективному миру, существующему независимо от человека, пространство и время являются лишь созданиями человеческого разума. А следовательно, и законы геометрии люди могут устанавливать не из опыта, а исходя из собственных представлений.
Лобачевский до конца жизни стоял на материалистических позициях, считая, что только опыт может служить критерием истинности любой геометрии. «Спрашивайте природу! Она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать непременно и удовлетворительно», — говорил он в своей ректорской речи о важнейших предметах воспитания.
Но предполагал ли сам Лобачевский, что его «воображаемая геометрия» не просто логически непротиворечива, но действительно более правильно описывает пространство окружающего мира? Да! Тысячу раз да! Николай Иванович был убежден, что люди не могут навязывать природе законы геометрии. И потому он отрицал взгляды Канта. Как и Гаусс, Лобачевский пытался на практике измерять сумму углов треугольника. Он понимал, что истинность его геометрии для реального пространства может быть доказана лишь при измерениях очень больших расстояний. И Лобачевский строит треугольник с вершинами на Земле, Солнце и Сириусе и, пользуясь известными в его время астрономическими данными параллаксов звезд, пытается вычислить сумму его углов.
Увы, точность угломерных инструментов в его время была недостаточной, а следовательно, и значения параллаксов — приближенными. Рассчитанное отклонение суммы углов от 180° лежало в пределах ошибки измерений. Но отрицательный результат не обескуражил великого геометра. Он понимал, что неудача связана с несовершенством приборов и с тем, что выбранный треугольник был еще слишком мал…
За год до своей смерти слепой Лобачевский продиктовал по-французски свое последнее сочинение «Пангеометрию». Эвклидова геометрия не отрицалась «воображаемой геометрией», она просто являлась ее наиболее простым частным, или, если угодно, предельным случаем, когда гауссова кривизна (она отрицательная в гиперболической геометрии Лобачевского) становится равной нулю.
История последовательного расширения геометрии, идущая от пятого постулата Эвклида до геометрии Лобачевского и Больяи и дальше к Риману и Эйнштейну, является серьезным предостережением тем, кто, занимаясь вопросами космологии, слишком легко экстраполирует то, что он знает о «здесь» и «сейчас», на то, что лежит и происходит «там» и «тогда». Вряд ли стоит, изучив геометрию собственной комнаты, экстраполировать ее выводы на всю вселенную вообще.
И все-таки Лобачевский до конца жизни не был удовлетворен результатами своей работы. Его мучило сознание ее незавершенности, отсутствие доказательства того, что «воображаемая геометрия» принципиально не может привести к абсурду. То есть он-то не сомневался в ее правильности, но вот окружающие… Ах, если бы ему, начертив воображаемые линии и фигуры, написать на чертеже одно-единственное слово: «Смотри!» Когда-то в древности это слово, поставленное на чертеже, заменяло доказательство… Увы, подобного «абсолютного доказательства» Николай Иванович так и не нашел.
В 1868 году, всего 12 лет спустя после смерти великого русского геометра, итальянский математик Эудженио Бельтрами опубликовал скромный мемуар «Опыт интерпретации неэвклидовой геометрии».
Профессор математики Бельтрами некоторое время занимался картографией, для чего изучал способы отображения искривленной поверхности Земли на плоском листе бумаги. При этом ему пришлось столкнуться с весьма малоизученным вопросом о поверхности постоянной отрицательной кривизны — сферы наоборот, или псевдосферы. Когда-то, в конце прошедшего XVII столетия, о «мнимой сфере» говорил и писал Иоганн Ламберт — математик, физик, астроном и философ, со взглядами которого мы уже знакомы. Однако вряд ли Бельтрами знал о работах Ламберта. Рассмотрев большой класс поверхностей с постоянной отрицательной кривизной, Бельтрами умудрился построить их. Любознательный читатель может увидеть разновидность такой поверхности на нашем рисунке. Она похожа на седло. Самым же замечательным оказалось то, что геометрия на таких поверхностях была геометрией Лобачевского!
Вот когда пришло прозрение для всех неверующих. Вот когда Бельтрами смог воскликнуть столь желанное «смотри» и указать на чертеж. Псевдосфера-поверхность, находящаяся в привычном эвклидовом пространстве, являлась пресловутой «воображаемой» плоскостью Лобачевского. Но если такая плоскость (или двухмерное пространство) существует, то и ее геометрия не может быть ложной.
Мемуар Бельтрами совершил настоящий переворот. Имя Лобачевского озарилось сиянием славы. Увы, посмертно.
К сожалению, нарисовать или представить наглядно трехмерное пространство, подчиняющееся аксиомам геометрии Лобачевского, невозможно. У автора не хватает фантазии даже на аналогии. А отсутствие таковых в специальной литературе не позволяет прибегнуть к заимствованию. Придется воспользоваться единственным выходом — логикой…
Двухмерное пространство нулевой кривизны — плоскость. Та же нулевая величина кривизны определяет и эвклидово пространство, отличающееся от плоскости лишь наличием еще одного измерения.
Двухмерное пространство отрицательной кривизны — плоскость Лобачевского. Та же отрицательная величина кривизны определяет и неэвклидово пространство Лобачевского, отличающееся от плоскости Лобачевского лишь наличием еще одного измерения.
Представить себе его наглядно — трудно, но математически оно описывается безукоризненно. Кривизну пространства можно измерить опытным путем. И тогда в пространстве отрицательной кривизны сумма углов треугольника будет зависеть от величины его сторон и составлять меньше 180°. Через точку, лежащую вне «прямой», можно будет провести не одну, а целый пучок «прямых», не пересекающихся с данной, и так далее и тому подобное. Все так, как предсказывал еще в 1826 году Николай Иванович Лобачевский на заседании физико-математического отделения Казанского университета.
Мемуар Бельтрами возродил интерес к неэвклидовой геометрии. Появляется множество работ, у псевдосфер обнаруживаются некоторые особенности, которыми плоскость Лобачевского не обладает. Математики предлагают другие модели и другие интерпретации не только плоскости, но и пространства Лобачевского. Об одной из них, забегая по времени вперед, автор собирается поведать.
Представим себе поезд, мчащийся по рельсам. Вдоль состава, в направлении движения в вагон-ресторан, идет пассажир. Чему равна его скорость относительно пролетающих за окнами полустанков? Все просто — сумме скоростей поезда и его движения вдоль вагона.