Живой учебник геометрии

Перельман Яков Исидорович

[b+ R]2= R2+ k2.

Раскрыв скобки, получаем

b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.

Отсюда

k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].

Это

соотношение можно выразить словесно так:

к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.

Применения

95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?

Р е ш е н и е. Так как поверхность моря шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной, проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства

x2= 30 [12 800 000 + 30].

(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.

96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?

Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому искомая высота у определяется из уравнения

2002= у [12 800 + y].

Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем

2002= 12 800 у,

Откуда

2002/12800 = 2,3 км.

Следовательно, искомая высота = 23 км.

XIII. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ

§ 75. Определения

Треугольник или многоугольник называется вписанным в окружность, если все их вершины расположены на окружности (черт. 217). Они называются описанными около круга, если в с е и х с т о р о н ы касаются окружности (черт. 213). Сейчас мы познакомимся с некоторыми свойствами описанных и вписанных фигур.

§ 76. Как описать окружность около данного треугольника

Предварительное упражнение

Во скольких точках могут пересечься три прямые линии?

Докажем сначала, что описать окружность можно около всякого треугольника, какой бы формы он ни был. Пусть у нас имеется треугольник ABC(черт. 214). Около него можно будет описать окружность, если удастся найти такую точку О, которая одинаково удалена от трёх его вершин A, В и С. Найдем сначала все точки, одинаково удаленные от точек А и В; они расположены, мы знаем (§ 55) на перпендикуляре Dd(черт. 215),

проведенном через середину стороны АВ. Затем найдем все точки, одинаково удаленные от вершин В и С; они расположены на перпендикуляре Ее, проведенном через середину ВС.

Точка О их пересечения одинаково удалена от трех вершин треугольника А, В и С, а следовательно, это и есть центр описанной окружности.

Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, около которого нельзя было бы описать окружности. Способ же построения ее вытекает из сказанного: надо провести перпендикуляры через середины двух сторон треугольника; точка пересечения перпендикуляров есть центр описанной окружности; соединив ее с одной. из вершин треугольника, найдем радиус этой окружности. Итак:

о к о л о в с я к о г о т р е у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь; ц е н т р е е л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и п е р п е н д и к у л я р о в, п р о в е д е н н ы х ч е р е з с е р е д и н у д в у х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а. Попутно мы можем установить следующее свойство треугольника. Так как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины двух сторон треугольника, одинаково удалена от концов третьей стороны, то она должна находиться и на перпендикуляре, проведенном через середину этой стороны треугольника. Значит: п е р п е н д и к у л я р ы, п р о в е д е н н ы е ч е р е з с е р е д и н ы т р е х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а, п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.

§ 77. Как вписать круг в данный треугольник

Покажем сначала, что во всякий треугольник, какой бы он ни был формы, можно вписать круг. Пусть имеется треугольник ABC(черт. 214). В него можно будет вписать круг, если удастся найти такую точку, которая одинаково удалена от трех его сторон. Сначала найдем все точки, одинаково удаленные от двух сторон АВ и АС; они расположены, мы знаем (§ 50), на равноделящей Аа угла А (черт. 216). Затем найдем все точки, одинаково удаленные от сторон АВ и ВС; они расположены на равноделя-щей Вb угла В. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех сторон треугольника: АВ, АС и ВС, и, следовательно, это и есть центр вписанного круга.

Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, в который нельзя бы вписать круг. Способ же построения круга вытекает из сказанного: надо разделить два угла пополам – точка пересечения равноделящих есть центр вписанного круга; проведя через него перпендикуляр к одной из сторон, найдем радиус этого круга. Итак:

в о в с я к и й т р е у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г; ц е н т р е г о л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и р а в н о д е л я щ и х д в у х у г л о в т р е у г о л ь н и к а. Легко видеть, что так как точка пересечения равно-делящих двух углов одинаково удалена от сторон третьего угла, то она должна лежать и на равноделящей третьего угла треугольника. Значит:

р а в н о д е л я щ и е т р е х у г л о в т р е у г о л ь н и к а п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.

§ 78. Вписанный и описанный квадраты

Вписать в данный круг квадрат весьма просто; надо провести в круге два диаметра, встречающиеся под прямым углом, и концы их соединить прямыми линиями. (Объясните на черт. 217, почему получающийся при этом четырехугольник – квадрат).

Черт. 216 Черт. 217 Черт. 218