А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Какие часы точнее показывают время: те, которые отстают за сутки на 1 мин, или те, которые совсем не идут?
Льюис Кэрролл рассуждал следующим образом.
Кэрролл. Часы, отстающие
Алиса задумалась.
Алиса. Я знаю, что остановившиеся часы показывают точное время ровно в 8 часов утра и ровно в 8 часов вечера, но как узнать, когда именно наступает ровно 8 часов утра или ровно 8 часов вечера?
Кэрролл. Очень просто, дитя мое. Встань лицом к циферблату остановившихся часов и возьми в руки заряженный пистолет.
Кэрролл. Не своди глаз со стрелок часов. И в тот момент, когда часы покажут точное время, выстрели из пистолета. Всякий, кто услышит твой выстрел, будет знать, что наступило ровно 8 часов.
Льюис Кэрролл — псевдоним скромного преподавателя математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде Чарлза Лютвиджа Доджсона. Ему принадлежит заметка «Какие часы лучше?» о «сумасшедших» часах [23] .
23
Кэрролл Л. История с узелками. — М.: Мир, 1973, с. 367.
Каким образом Кэрролл определил, как часто часы, отстающие ежесуточно на 1 мин, показывают точное время? Поскольку часы каждые сутки отстают на 1 мин, они покажут точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 720 суток.
Парадокс Льюиса Кэрролла с часами — не более чем шутка, выдержанная в лучших традициях английского нонсенса. А вот «серьезный» парадокс, заслуживающий самого пристального внимания. Знаете ли вы, что верхняя часть велосипедного колеса движется быстрее, чем нижняя?
Именно поэтому спицы в верхней половине катящегося велосипедного колеса сливаются в сплошной блестящий диск.
Взгляните на два последовательных положения колеса. Точка А вблизи вершины проделала гораздо больший путь, чем точка В вблизи основания. Скорость — это расстояние, проходимое в единицу времени. Следовательно, точка А движется быстрее точки В. Верно?
О каких скоростях идет речь, когда говорят,
Парадокс легко решается, если рассмотреть кривую, известную под названием «циклоида». Любая точка на ободе колеса, катящегося по прямой, описывает циклоиду. В точке касания колеса с поверхностью земли скорость равна нулю. Оторвавшись от земли при качении колеса, точка на ободе начинает разгоняться и в верхней точке движется с максимальной скоростью.
Затем по мере приближения к земле движение точки на ободе замедляется, и в новую точку касания она приходит с нулевой скоростью. На колесах железнодорожных вагонов имеются выступы — реборды. Когда колесо катится по рельсу, точка на ободе реборды, описывая небольшую петлю, расположенную ниже уровня рельса, какое-то время движется назад.
Циклоида обладает множеством красивых математических и механических свойств. Одна из глав моей «Шестой книги математических забав» из журнала Scientific American называется «Циклоида — Елена Прекрасная геометрии». В ней, в частности, рассказывается, как начертить циклоиду с помощью катящейся банки из-под кофе. Построим циклоиду и выведя ее уравнение, вы сможете лучше оценить изящество этой кривой и ее необычные свойства.
Лыжник. Какой великолепный день! Вот если бы только скорость подъемника была больше 5 км/ч!
Предположим, что лыжник захочет поднять среднюю скорость, развиваемую на подъеме и спуске, до 10 км/ч. С какой скоростью он должен съезжать с горы?
15 км/ч? 60 км/ч? 100 км/ч? Хотя в это трудно поверить, но единственный способ поднять среднюю скорость до 10 км/ч для лыжника состоит в том, чтобы съехать за нулевое время!
Сначала кажется, что решение парадокса как-то связано с расстоянием, проходимым лыжником при подъеме и спуске. Но в действительности оно несущественно. Лыжник преодолевает какое-то расстояние, поднимаясь на гору, и хотел бы спуститься со скоростью, при которой средняя скорость при подъеме и спуске была бы вдвое больше скорости при подъеме.
Чтобы развить такую среднюю скорость, лыжнику пришлось бы преодолеть вдвое большее расстояние (туда и обратно), чем он преодолел при подъеме, за то же время, которое он затратил на подъем. Следовательно, на спуск у нашего лыжника просто нет времени: он должен был бы преодолеть склон за нулевое время! Поскольку это невозможно, лыжник никаким способом не может поднять свою среднюю скорость с 5 до 10 км/ч, в чем вы без труда можете убедиться с помощью несложных вычислений.
Древние греки придумали множество парадоксов о времени и о движении Парадокс Зенона о бегуне («стадий») принадлежит к числу наиболее известных.
Бегун в парадоксе Зенона рассуждал следующим образом.
Бегун. Прежде чем я добегу до финиша, мне необходимо пробежать половину дистанции, затем половину оставшейся половины, то есть 3/4 всей дистанции.