Экстреми'зм (франц. extremisme, от лат. extremus — крайний), приверженность к крайним взглядам и мерам (обычно в политике).
Экстремум
Экстре'мум (от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х функция f (x) имеет в x максимум (минимум), если существует окрестность (x + d, x0 — d)
этой точки, содержащаяся в области определения f (x ), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x ), ³ f (x ) [соответственно, f (x ) lb f (x )]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x ) > f (x ) [или f (x ) << f (x )] при х ¹ x , то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x ) имела Э. в некоторой точке x , необходимо, чтобы она была непрерывна в x и чтобы либо f` (x ) = 0 (точка А на рис. 1 ), либо f` (x ) не существовала (точка С на рис. 1 ). Если при этом в некоторой окрестности точки x производная f' (x ) слева от x положительна, а справа отрицательна, то f (x ) имеет в x максимум; если f' (x ) слева от x отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f' (x ) не меняет знака при переходе через точку x , то функция f (x ) не имеет Э. в точке x (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f (x ) в точке x
имеет п последовательных производных, причём f' (x ) = f`` (x ) =...= f (n-1) (x )=0, a f (n) (x )¹0, то при п нечётном f (x ) не имеет Э. в точке x , а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x ) > 0, и максимум, если f (n) (x ) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции .
Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М , на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х , y ) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у ) и в самой точке f'x = f'y = 0,
D = f''xx f'' уу > 0,
то f (x, у ) в точке М имеет Э. (максимум при f ''xx < 0 и минимум при f ''xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4 ).
Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы
Sni, k=1 aik Dxi Dxk
где aik — значение f''xi xk в исследуемой точке. См. также Условный экстремум .
Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении .